連続関数空間 C[a,b] の性質と例

連続関数空間 $C[a,b]$ は最も直感的に理解しやすい関数空間です。sup ノルムを入れるとバナッハ空間になります。

定義

閉区間 $[a,b]$ 上の連続関数全体を $C[a,b]$ と書きます。ノルムは

$$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\underset{x\in [a,b]}{\sup }|f(x)|=\underset{x\in [a,b]}{\max }|f(x)|$$

で定義します。連続関数は閉区間上で最大値をとるので、sup は max と一致します。

具体例

$C[0,1]$ で $f(x)=x^2$ のとき $\Vert f{\Vert }_{\infty }=1$（$x=1$ で最大）

$g(x)=\sin (\pi x)$ のとき $\Vert g{\Vert }_{\infty }=1$（$x=\frac{1}{2}$ で最大）

$h(x)=x-x^2$ のとき $\Vert h{\Vert }_{\infty }=\frac{1}{4}$（$x=\frac{1}{2}$ で最大）

完備性

$C[a,b]$ は sup ノルムに関して完備、つまりバナッハ空間です。

連続関数の一様収束極限は連続であるという定理がこれを保証します。$f_n\to f$（sup ノルム）は一様収束と同じ意味なので、$f$ も連続になります。

ヒルベルト空間ではない

$C[a,b]$ は内積空間ではありません。sup ノルムは平行四辺形の法則

$$\Vert f+g{\Vert }^2+\Vert f-g{\Vert }^2=2(\Vert f{\Vert }^2+\Vert g{\Vert }^2)$$

を満たさないからです。

$C[a,b]$ と $L^2[a,b]$ の関係

$C[a,b]\subset L^2[a,b]$ ですが、$L^2$ ノルムと sup ノルムは異なります。

$C[0,1]$ で $f_n(x)=x^n$ を考えると、$\Vert f_n{\Vert }_{\infty }=1$ ですが

$$\Vert f_n{\Vert }_2=\sqrt{{\int }_0^1{x}^{2n}dx}=\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\to 0$$

sup ノルムでは収束しませんが、$L^2$ ノルムでは $0$ に収束します。

双対空間

$C[a,b]$ の双対空間は $[a,b]$ 上の有界変動関数（符号付き測度）の空間です。これは少し複雑なので、上級の話題になります。