フーリエ級数で体感する正規直交基底

正規直交基底によるフーリエ展開は、抽象的に聞こえますが、高校や大学初年度で習うフーリエ級数そのものです。具体例で確認しましょう。

$L^2[-\pi ,\pi ]$ の正規直交基底

次の関数系は $L^2[-\pi ,\pi ]$ の正規直交基底をなします。

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }},\frac{\cos x}{\sqrt{\pi }},\frac{\sin x}{\sqrt{\pi }},\frac{\cos 2x}{\sqrt{\pi }},\frac{\sin 2x}{\sqrt{\pi }},\dots$$

正規化係数を外すと、おなじみの $\{1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\dots \}$ です。

フーリエ係数の計算

$f(x)=x$（$-\pi <x<\pi$）のフーリエ係数を計算します。

$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }xdx=0$（奇関数なので）

$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }x\cos nxdx=0$（奇関数 × 偶関数 = 奇関数）

$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin nxdx=\frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}$

よって

$$x=2\left(\sin x-\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}-\cdots \right)$$

パーセバルの等式

$\Vert f{\Vert }_2^2$ はフーリエ係数の2乗和に等しくなります。$f(x)=x$ の場合

$$\Vert x{\Vert }_2^2={\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^{2}dx=\frac{2{\pi }^3}{3}$$

一方、フーリエ係数から

$$\pi \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n^2=\pi \sum _{n=1}^{\infty }\frac{4}{n^2}=4\pi \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$$

両者が等しいので ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ が得られます。

他の正規直交基底

ルジャンドル多項式、エルミート関数、ラゲール関数なども $L^2$ 空間の正規直交基底になります。三角関数系は最も基本的な例です。