フーリエ級数で体感する正規直交基底

正規直交基底によるフーリエ展開は、抽象的に聞こえますが、高校や大学初年度で習うフーリエ級数そのものです。具体例で確認しましょう。

$L^{2} [- π, π]$ の正規直交基底

次の関数系は $L^{2} [- π, π]$ の正規直交基底をなします。

$\frac{1}{2 π}, \frac{cos x}{π}, \frac{sin x}{π}, \frac{cos 2 x}{π}, \frac{sin 2 x}{π}, \dots$

正規化係数を外すと、おなじみの ${1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, \dots}$ です。

$f (x) = x$ （ $- π < x < π$ ）のフーリエ係数を計算します。

$a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x d x = 0$ （奇関数なので）

$a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x cos n x d x = 0$ （奇関数 × 偶関数 = 奇関数）

$b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x sin n x d x = \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n}$

よって

$x = 2 (sin x - \frac{sin 2 x}{2} + \frac{sin 3 x}{3} - \dots)$

$∥ f ∥_{2}^{2}$ はフーリエ係数の2乗和に等しくなります。 $f (x) = x$ の場合

$∥ x ∥_{2}^{2} = \int_{- π}^{π} x^{2} d x = \frac{2 π ^{3}}{3}$

一方、フーリエ係数から

$π n = 1 \sum \infty b_{n}^{2} = π n = 1 \sum \infty \frac{4}{n ^{2}} = 4 π n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}}$

両者が等しいので $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$ が得られます。

抽象化の意味

「正規直交基底」「フーリエ展開」という言葉を使うと、 $L^{2}$ 以外の空間でも同じ構造が見えてきます。

収束の意味

フーリエ級数は各点収束するとは限りませんが、 $L^{2}$ ノルムでは必ず収束します。これがヒルベルト空間の完備性の恩恵です。

ルジャンドル多項式、エルミート関数、ラゲール関数なども $L^{2}$ 空間の正規直交基底になります。三角関数系は最も基本的な例です。