ハーン・バナッハの定理｜保証されることと、されないこと

${\mathbb{R}}^2$ に $\Vert (a,b){\Vert }_1=|a|+|b|$ を入れ、$x$ 軸の上で $f(a,0)=a$ とします。このノルムで測ると $\Vert f\Vert =1$。

これを平面全体へ、ノルムを $1$ のまま広げる方法は 1 つではありません。無限にある。

ハーン・バナッハの定理は、そのうち少なくとも 1 つが存在すると言います。どれになるかは言いません。

拡張は 1 つに決まらない

$x$ 軸を含む拡張は $F_{\lambda }(a,b)=a+\lambda b$ の形です。ノルムを計算します。

$$\Vert F_{\lambda }\Vert =\underset{|a|+|b|\le 1}{\sup }|a+\lambda b|=\max (1,|\lambda |)$$

$|\lambda |\le 1$ ならどれも $\Vert F_{\lambda }\Vert =1$ で、もとの $f$ とノルムが同じ。拡張は無限にあります。

ユークリッドノルム $\Vert (a,b){\Vert }_2=\sqrt{a^2+b^2}$ を入れた平面で同じ $f$ を広げると、ノルムの計算はこうなる。

$$\Vert F_{\lambda }\Vert =\sqrt{1+{\lambda }^2}$$

これが $1$ になるのは $\lambda =0$ だけで、拡張はひととおりに決まります。

分かれ目は双対の単位球の形にある。ノルムを保つ拡張がつねに一意になるのは、双対が狭義凸のときちょうどだと分かっています^[2]。

有界でなければ広げられない

定理が要求するのは、もとの汎関数が部分空間の上で有界なことです。ここを外すと拡張は存在しない。

$X=C[0,1]$ に最大値ノルムを入れ、$M$ を微分可能な関数の全体とします。$M$ の上で $\varphi (f)=f^{\prime }(0)$ と定める。

線形ではありますが、有界ではない。次の関数を並べると分かります。

$$f_n(t)=\frac{1}{n}\sin \left(n^{2}t\right)$$

高さは $\Vert f_n{\Vert }_{\infty }\le \frac{1}{n}$ で、$n$ とともに $0$ へ近づきます。ところが $f_n^{\prime }(t)=n\cos (n^{2}t)$ だから、原点での値は $\varphi (f_n)=n$。

比をとると $\frac{|\varphi (f_n)|}{\Vert f_n{\Vert }_{\infty }}\ge n^2$ で、いくらでも大きくなる。$\varphi$ に有限のノルムはありません。

連続な $F$ が $\varphi$ を広げたものだとすると、$M$ の上で $|\varphi (f)|\le \Vert F\Vert \Vert f{\Vert }_{\infty }$ になります。これは $\varphi$ が有界だという意味なので、そんな $F$ は存在しない。

証明は構成的でない

証明は、部分空間を 1 次元ずつ延ばし、その手続きの極大なものをとる形で進みます。極大なものがあることは、ツォルンの補題が保証します^[1]。

ツォルンの補題は選択公理と同値です。だから拡張の存在は言えても、どれか 1 つを書き下すことはできません^[1]。

集合論での位置も分かっています。選択公理は超フィルター定理を導き、超フィルター定理はハーン・バナッハの定理を導く。逆向きはどちらも成り立ちません^[2]。

$$\text{選択公理}⟹\text{超フィルター定理}⟹\text{ハーン・バナッハの定理}$$

ZF の公理だけからは示せず、選択公理よりは弱い。そういう位置にある定理です。

書き下せない汎関数

収束する数列の全体を $c$ と書きます。${\ell }^{\infty }$ の部分空間です。

$c$ の上で $\lim$ は線形で、$|\lim x|\le \Vert x{\Vert }_{\infty }$ だから有界。$(1,1,1,\dots )$ で等号になるため、ノルムは $1$ です。

ハーン・バナッハの定理で、これをノルム $1$ のまま ${\ell }^{\infty }$ 全体へ広げます。得られた $L$ は、$(1,0,1,0,\dots )$ のような収束しない数列にも値を返す。

この $L$ は ${\ell }^1$ の数列では書けません。$L(x)={\sum }_n{a}_n{x}_n$ と書けたとして、$e_k$ を第 $k$ 成分だけ $1$ の数列とおく。

$e_k$ は $c$ に入り、その極限は $0$ です。だから $a_k=L(e_k)=0$ が全部の $k$ で成り立ち、$L$ は恒等的に $0$ になる。

ところが $L(1,1,1,\dots )=1$ です。${\ell }^1$ では書けないと分かりました。

存在は言えたのに、どんな数列なのかは書けない。ハーン・バナッハの定理で得られるものは、たいていこの形です^[1]。

存在は保証されるが、一意でもなく、書き下せもしない。ハーン・バナッハの定理を使う議論では「そういう汎関数がある」という一行だけを持ち出して、その先は中身に触れずに進みます。

参考