開写像定理と閉グラフ定理のつながり

開写像定理と閉グラフ定理は、どちらもバナッハ空間上の有界線形作用素に関する基本定理です。実は密接に関連しています。

開写像定理

バナッハ空間の間の全射有界線形作用素は開写像である。

言い換えると、$T:X\to Y$ が全射なら、$X$ の単位球の像 $T(B_X)$ は $Y$ の原点の近傍を含みます。「出力が $Y$ 全体を覆うなら、入力の小さな変化で出力も動かせる」ということです。

閉グラフ定理

バナッハ空間の間の線形作用素で、グラフが閉集合なら有界である。

$T:X\to Y$ のグラフとは $\{(x,Tx):x\in X\}\subset X\times Y$ のことです。「$x_n\to x$ かつ $T{x}_n\to y$ なら $y=Tx$」が閉グラフの条件です。

2つの定理の関係

実はこの2つは同値です。一方を認めると他方が証明できます。

使い分け

共通の本質

どちらの定理も、証明にベールのカテゴリー定理を使います。完備性を通じて「局所的な情報から大域的な結論を引き出す」という点で、一様有界性原理とも共通しています。

バナッハ空間の3大定理（一様有界性原理、開写像定理、閉グラフ定理）は、いずれもベールのカテゴリー定理を基礎としています。