開写像定理と閉グラフ定理は、どちらもバナッハ空間上の有界線形作用素に関する基本定理です。実は密接に関連しています。
開写像定理
バナッハ空間の間の全射有界線形作用素は開写像である。
言い換えると、 が全射なら、 の単位球の像 は の原点の近傍を含みます。「出力が 全体を覆うなら、入力の小さな変化で出力も動かせる」ということです。
閉グラフ定理
バナッハ空間の間の線形作用素で、グラフが閉集合なら有界である。
のグラフとは のことです。「 かつ なら 」が閉グラフの条件です。
2つの定理の関係
実はこの2つは同値です。一方を認めると他方が証明できます。
開写像定理 → 閉グラフ定理
のグラフが閉なら、グラフ空間上の射影 は全単射有界線形です。開写像定理より は有界。すると も有界。
閉グラフ定理 → 開写像定理
が全射有界なら、（集合としての逆像）のグラフは のグラフを入れ替えたものなので閉。閉グラフ定理より は有界。これは が開写像であることと同値。
使い分け
開写像定理を使う場面
全射であることがわかっていて、逆写像の連続性を示したいとき。「全単射なら逆も有界」という形でよく使います。
閉グラフ定理を使う場面
作用素が有界かどうか直接示しにくいとき。グラフの閉性は収束列で確認できるので、技術的に扱いやすいことがあります。
共通の本質
どちらの定理も、証明にベールのカテゴリー定理を使います。完備性を通じて「局所的な情報から大域的な結論を引き出す」という点で、一様有界性原理とも共通しています。
バナッハ空間の3大定理（一様有界性原理、開写像定理、閉グラフ定理）は、いずれもベールのカテゴリー定理を基礎としています。
