リースの表現定理が意味すること

リースの表現定理は「ヒルベルト空間上の有界線形汎関数はすべて内積で表せる」という主張です。この定理が意味することを解説します。

定理の主張

ヒルベルト空間 $H$ 上の任意の有界線形汎関数 $f$ に対して、一意の $y \in H$ が存在して

$f (x) = ⟨ x, y ⟩ (\forall x \in H)$

双対空間の完全な記述

$H^{*}$ の元は $H$ の元で完全にパラメトライズされます。 $H$ と $H^{*}$ は「同じもの」と見なせます（共役線形同型）。

汎関数の具体化

抽象的な「汎関数」が、具体的なベクトル $y$ との内積として書けます。 $y$ を見つければ $f$ が完全にわかります。

自己双対性

ヒルベルト空間は自分自身と双対的です。これは一般のバナッハ空間にはない特別な性質です。

$ℓ^{1}$ の双対空間は $ℓ^{\infty}$ です。これらは全く異なる空間で、 $ℓ^{1} ≅ (ℓ^{1})^{*}$ とはなりません。

$ℓ^{2}$ の双対空間は $ℓ^{2}$ 自身です。リースの表現定理が効いています。

$L^{2} [0, 1]$ 上の汎関数 $f (g) = \int_{0}^{1} g (t) e^{t} d t$ を考えます。

リースの表現定理より、 $f (g) = ⟨ g, y ⟩ = \int_{0}^{1} g (t) \overline{y (t)} d t$ となる $y$ が存在します。

比較すると $y (t) = e^{t}$ （ $L^{2} [0, 1]$ は実空間とする）がわかります。

量子力学	状態とオブザーバブルを同じヒルベルト空間で扱える
変分問題	汎関数の勾配をヒルベルト空間内のベクトルとして特定
偏微分方程式	弱解の存在証明に使われる

リースの表現定理によって、ヒルベルト空間では「双対」を考える必要がほとんどなくなります。空間自体が十分に豊かな構造をもっているからです。これがヒルベルト空間の扱いやすさの一因です。