縮小写像の原理：なぜ不動点が見つかるのか

縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）は、反復操作で不動点が見つかることを保証します。なぜ収束するのか、直感的に説明します。

縮小写像とは

写像 $T:X\to X$ が縮小写像とは、ある $0\le k<1$ があって

$$d(Tx,Ty)\le k\cdot d(x,y)$$

がすべての $x$, $y$ で成り立つことです。2点間の距離が $T$ を作用させるたびに $k$ 倍以下に縮まります。

なぜ不動点が見つかるか

任意の初期点 $x_0$ から始めて、$x_1=T{x}_0$, $x_2=T{x}_1$, $\dots$ と反復します。

$$d(x_2,x_1)=d(T{x}_1,T{x}_0)\le k\cdot d(x_1,x_0)$$

$$d(x_3,x_2)\le k\cdot d(x_2,x_1)\le k^2\cdot d(x_1,x_0)$$

一般に $d(x_{n+1},x_n)\le k^n\cdot d(x_1,x_0)$ です。$k<1$ なので、項の間隔がどんどん小さくなります。

$$d(x_m,x_n)\le \frac{k^n}{1-k}d(x_1,x_0)\to 0(n\to \infty )$$

これはコーシー列なので、完備な空間では極限 $x^{\ast }$ が存在します。$T$ の連続性から $T{x}^{\ast }=x^{\ast }$ が従います。

具体例：ニュートン法の変種

方程式 $x=\cos x$ を解きたいとします。$T(x)=\cos x$ として反復します。

$x_0=0$ から始めると

$$x_1=1,x_2=\mathrm{0.540...},x_3=\mathrm{0.857...},x_4=\mathrm{0.654...},\dots$$

収束先は約 $0.739$ です（$\cos (0.739)\approx 0.739$）。

$|{\cos }^{\prime }(x)|=|\sin x|<1$（$x$ が不動点の近く）なので縮小写像の条件を満たします。

応用

縮小写像の原理は、「反復すれば収束する」ことを理論的に保証してくれる強力なツールです。