バナッハ空間とヒルベルト空間の違い

バナッハ空間とヒルベルト空間は関数解析の二大主役です。両者の違いと関係を整理します。

定義の違い

バナッハ空間

完備なノルム空間。ノルムは「長さ」を測るが、「角度」は測れない。

ヒルベルト空間

完備な内積空間。内積から $∥ x ∥ = ⟨ x, x ⟩$ でノルムが定まる。角度や直交も定義できる。

すべてのヒルベルト空間はバナッハ空間ですが、逆は成り立ちません。

ノルムが内積から来ているかどうかは、平行四辺形の法則

$∥ x + y ∥^{2} + ∥ x - y ∥^{2} = 2 (∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2})$

で判定できます。これを満たせばヒルベルト空間、満たさなければ「バナッハ空間だがヒルベルト空間ではない」です。

ヒルベルト空間には追加の構造があります。

直交性

$⟨ x, y ⟩ = 0$ で直交を定義。バナッハ空間では「直交」は意味をもちません。

正規直交基底

どんな元も正規直交基底で展開できます（フーリエ展開の一般化）。

射影定理

閉凸集合への最良近似が一意に存在します。バナッハ空間では存在も一意性も保証されません。

リースの表現定理

$H^{*} ≅ H$ が成り立ちます。バナッハ空間では一般に $X^{*} \neq ≅ X$ です。

ヒルベルト空間で済む問題ならヒルベルト空間を使うべきです。構造が豊かなので、多くの定理が使えます。

しかし $L^{p}$ （ $p \neq = 2$ ）や $C [a, b]$ など、自然にバナッハ空間になる状況も多いです。そのときはバナッハ空間の理論を使います。

量子力学やフーリエ解析ではヒルベルト空間（主に $L^{2}$ ）が中心で、偏微分方程式の弱解理論ではソボレフ空間（ヒルベルト空間の場合とバナッハ空間の場合がある）を使います。