バナッハ空間とヒルベルト空間の違い

バナッハ空間とヒルベルト空間は関数解析の二大主役です。両者の違いと関係を整理します。

定義の違い

すべてのヒルベルト空間はバナッハ空間ですが、逆は成り立ちません。

判定方法：平行四辺形の法則

ノルムが内積から来ているかどうかは、平行四辺形の法則

$$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2(\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2)$$

で判定できます。これを満たせばヒルベルト空間、満たさなければ「バナッハ空間だがヒルベルト空間ではない」です。

構造の豊かさ

ヒルベルト空間には追加の構造があります。

どちらを使うか

ヒルベルト空間で済む問題ならヒルベルト空間を使うべきです。構造が豊かなので、多くの定理が使えます。

しかし $L^p$（$p\ne 2$）や $C[a,b]$ など、自然にバナッハ空間になる状況も多いです。そのときはバナッハ空間の理論を使います。

量子力学やフーリエ解析ではヒルベルト空間（主に $L^2$）が中心で、偏微分方程式の弱解理論ではソボレフ空間（ヒルベルト空間の場合とバナッハ空間の場合がある）を使います。