強収束・弱収束・ノルム収束の比較

関数解析では様々な「収束」の概念が登場します。強収束・弱収束・ノルム収束の違いを整理しましょう。

ノルム収束（強収束）

点列 $x_n$ が $x$ に ノルム収束 するとは

$$\Vert x_n-x\Vert \to 0$$

が成り立つことです。$x_n\to x$ と書きます。

これは最も自然な収束概念で、距離空間の収束と同じです。「強収束」とも呼ばれます。

弱収束

点列 $x_n$ が $x$ に 弱収束 するとは、すべての $f\in X^{\ast }$ に対して

$$f(x_n)\to f(x)$$

が成り立つことです。$x_n\rightharpoonup x$ と書きます。

「どんな測定器で測っても、測定値が収束する」という意味です。

2つの収束の関係

反例：弱収束するがノルム収束しない

${\ell }^2$ で $e_n=(0,\dots ,0,1,0,\dots )$（第 $n$ 成分が $1$）を考えます。

任意の $y\in {\ell }^2$ に対して $⟨e_n,y⟩=y_n\to 0$（$\sum |y_n{|}^2<\infty$ より）

よって $e_n\rightharpoonup 0$（弱収束）ですが、$\Vert e_n\Vert =1$ なので $\Vert e_n-0\Vert \nrightarrow 0$ です。

作用素の収束

作用素列 $T_n:X\to Y$ にも同様の収束概念があります。

「強収束」は作用素の文脈では「各点でのノルム収束」を意味するので、用語に注意が必要です。

なぜ弱収束を考えるか

弱収束はノルム収束より弱い条件なので、収束する列が増えます。特に

変分法や最適化で「最小化列が収束する」ことを示すとき、弱収束が役立ちます。