強収束・弱収束・ノルム収束の比較

関数解析では様々な「収束」の概念が登場します。強収束・弱収束・ノルム収束の違いを整理しましょう。

ノルム収束（強収束）

点列 $x_{n}$ が $x$ に ノルム収束 するとは

$∥ x_{n} - x ∥ \to 0$

が成り立つことです。 $x_{n} \to x$ と書きます。

これは最も自然な収束概念で、距離空間の収束と同じです。「強収束」とも呼ばれます。

点列 $x_{n}$ が $x$ に 弱収束 するとは、すべての $f \in X^{*}$ に対して

$f (x_{n}) \to f (x)$

が成り立つことです。 $x_{n} ⇀ x$ と書きます。

「どんな測定器で測っても、測定値が収束する」という意味です。

ノルム収束 → 弱収束

$∥ x_{n} - x ∥ \to 0$ なら $∣ f (x_{n}) - f (x) ∣ \leq ∥ f ∥∥ x_{n} - x ∥ \to 0$ なので弱収束します。

弱収束 → ノルム収束（一般には不成立）

弱収束してもノルム収束するとは限りません。

$ℓ^{2}$ で $e_{n} = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots)$ （第 $n$ 成分が $1$ ）を考えます。

任意の $y \in ℓ^{2}$ に対して $⟨ e_{n}, y ⟩ = y_{n} \to 0$ （ $\sum ∣ y_{n} ∣^{2} < \infty$ より）

よって $e_{n} ⇀ 0$ （弱収束）ですが、 $∥ e_{n} ∥ = 1$ なので $∥ e_{n} - 0∥ \neq \to 0$ です。

作用素列 $T_{n} : X \to Y$ にも同様の収束概念があります。

「強収束」は作用素の文脈では「各点でのノルム収束」を意味するので、用語に注意が必要です。

弱収束はノルム収束より弱い条件なので、収束する列が増えます。特に

有界列の部分列	反射的空間では、有界列は弱収束する部分列をもつ
コンパクト性	弱位相ではしばしば良いコンパクト性が得られる

変分法や最適化で「最小化列が収束する」ことを示すとき、弱収束が役立ちます。