有限次元と無限次元で何が変わるか

線形代数で学ぶ有限次元空間と、関数解析で扱う無限次元空間では、成り立つ性質が大きく異なります。何が変わるのかを整理します。

有限次元で当たり前、無限次元で成り立たないこと

具体例

シフト作用素 $S:{\ell }^2\to {\ell }^2$, $S(x_1,x_2,\dots )=(0,x_1,x_2,\dots )$ を考えます。

$S$ は単射ですが全射ではありません（$(1,0,0,\dots )$ は像に入らない）。

有限次元の行列では、単射なら正則なので全射でもありますが、無限次元ではこれが崩れます。

閉球がコンパクトでない例

${\ell }^2$ の単位閉球 $\{x:\Vert x\Vert \le 1\}$ を考えます。点列 $e_1,e_2,e_3,\dots$（標準基底）はすべて単位閉球内にありますが

$$\Vert e_m-e_n\Vert =\sqrt{2}(m\ne n)$$

なので、収束する部分列をもちません。コンパクト性が成り立ちません。

無限次元で新たに必要になること

有限次元の直感は出発点として有用ですが、無限次元では「追加の条件」が必要になることが多いです。関数解析の基本定理（ハーン・バナッハ、一様有界性原理、開写像定理など）は、この追加の構造を与えてくれます。