進整数環 は、離散付値環の代表的な例です。整数論や数論幾何学で中心的な役割を果たすこの環が、なぜ離散付値環の条件を満たすのかを見ていきます。
進整数環の定義
素数 を固定します。 進整数環 は、射影系
の射影極限として定義されます。直感的には、 進整数とは「 のべき乗で割った余りがすべて整合的に決まっている数」です。
離散付値環であることの確認
が離散付値環であることを確認します。
まず、 は整域です。これは が を含み、零因子をもたないことから従います。
次に、 は局所環です。 の単元は「 で割り切れない元」に限られ、極大イデアルは のただ一つです。
最後に、極大イデアル は という一つの元で生成されます。したがって が一様化元です。
進付値
の商体は 進数体 です。 上の 進付値 は、 でない元 に対して「 が で何回割れるか」を返します。
進付値の例
、、（ のとき）です。整数 に対しては、（ は と互いに素）と書いたとき となります。
付値環としての
は となる元の全体です。つまり、 進数体の中で「 で割り切れる回数が非負」な元を集めると が得られます。
との違い
整数の における局所化 も離散付値環ですが、 とは異なります。 は有理数の部分環ですが、 は完備化によって得られるより大きな環です。両者は同じ付値を定めますが、 は付値に関して完備という点で異なります。
