p進整数環は離散付値環

$p$ 進整数環 ${\mathbb{Z}}_p$ は、離散付値環の代表的な例です。整数論や数論幾何学で中心的な役割を果たすこの環が、なぜ離散付値環の条件を満たすのかを見ていきます。

$p$ 進整数環の定義

素数 $p$ を固定します。$p$ 進整数環 ${\mathbb{Z}}_p$ は、射影系

$$\cdots \to \mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$$

の射影極限として定義されます。直感的には、$p$ 進整数とは「$p$ のべき乗で割った余りがすべて整合的に決まっている数」です。

離散付値環であることの確認

${\mathbb{Z}}_p$ が離散付値環であることを確認します。

まず、${\mathbb{Z}}_p$ は整域です。これは ${\mathbb{Z}}_p$ が $\mathbb{Z}$ を含み、零因子をもたないことから従います。

次に、${\mathbb{Z}}_p$ は局所環です。${\mathbb{Z}}_p$ の単元は「$p$ で割り切れない元」に限られ、極大イデアルは $p{\mathbb{Z}}_p$ のただ一つです。

最後に、極大イデアル $p{\mathbb{Z}}_p$ は $p$ という一つの元で生成されます。したがって $p$ が一様化元です。

$p$ 進付値

${\mathbb{Z}}_p$ の商体は $p$ 進数体 ${\mathbb{Q}}_p$ です。${\mathbb{Q}}_p$ 上の $p$ 進付値 $v_p$ は、$0$ でない元 $x$ に対して「$x$ が $p$ で何回割れるか」を返します。

${\mathbb{Z}}_{(p)}$ との違い

整数の $p$ における局所化 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ も離散付値環ですが、${\mathbb{Z}}_p$ とは異なります。${\mathbb{Z}}_{(p)}$ は有理数の部分環ですが、${\mathbb{Z}}_p$ は完備化によって得られるより大きな環です。両者は同じ付値を定めますが、${\mathbb{Z}}_p$ は付値に関して完備という点で異なります。