p 進整数環 - 無限に続く桁が離散付値環をつくる

$p$ 進整数は、桁が左へ無限に続く数です。ふつうの小数が右へ無限に続くのと、向きがちょうど逆になります。

$x = c_{0} + c_{1} p + c_{2} p^{2} + \dots, c_{i} \in {0, 1, \dots, p - 1}$

この形の元がなす環を $Z_{p}$ と書きます。桁が有限で止まる元が、ふつうの非負整数です。

以下では 2 通りの作り方を並べ、負の数や分数の展開を実際に計算します。そのあと離散付値環の 3 条件を 1 つずつ確かめる。

2 通りの作り方

同じ環に、2 つの入口があります^[1]。

1 つは射影極限です。 $Z / p^{n} Z$ を並べ、両立する剰余の組を元とします。

$Z_{p} = n lim Z / p^{n} Z$

もう 1 つは完備化です。 $Q$ に $p$ 進絶対値 $∣ x ∣_{p} = p^{- v_{p} (x)}$ を入れ、コーシー列で完備化して $Q_{p}$ を作り、その中で $∣ x ∣_{p} \leq 1$ の元を集めます。

どちらからも同じ環が出ます。前者は桁の組、後者は極限としての姿です。

$Q_{p} = Z_{p} [1/ p]$ が成り立ちます^[1]。分母に $p$ の冪だけを許すと、商体になる。

例: $- 1$ の $p$ 進展開

負の数がどう書けるかを見ましょう。 $p = 3$ でやります。

$- 1 = 2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 9 + 2 \cdot 27 + \dots$ と主張します。部分和を計算して確かめましょう。

$2$ 、 $2 + 6 = 8$ 、 $8 + 18 = 26$ 、 $26 + 54 = 80$ と続きます。それぞれ $3, 9, 27, 81$ で割った余りを見ると、すべて $- 1$ と合同です。

級数として足しても同じです。 $2 (1 + 3 + 9 + \dots) = 2 \cdot \frac{1}{1 - 3} = - 1$ になります。

ふつうの実数では発散する計算が、 $p$ 進では意味をもちます。項が $0$ に近づくためです^[1]。

一般の $p$ では $- 1 = (p - 1) + (p - 1) p + (p - 1) p^{2} + \dots$ です。すべての桁が最大値で埋まる。

例: $1/2$ の 3 進展開

分数も書けます。 $2$ が $3$ で割れないので、 $1/2 \in Z_{3}$ です。

$1/2 = 2 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 9 + 1 \cdot 27 + \dots$ になります。確かめましょう。

$2 + (3 + 9 + 27 + \dots) = 2 + \frac{3}{1 - 3} = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$ です。

有限の桁でも検算できます。 $2 + 3 + 9 = 14$ で、 $2 \cdot 14 = 28 \equiv 1 (mod 27)$ が成り立ちます。

$1/3$ は $Z_{3}$ に入りません。 $v_{3} (1/3) = - 1$ で負だからです。 $Q_{3}$ の元になります。

桁の並びとして見る

展開の形を図にします。

右端が $1$ の位で、左へ行くほど位が大きくなります。ふつうの数と並びは同じで、無限に伸びる向きが逆です。

無限に伸びても意味をもつのは、大きい位ほど $p$ 進では小さいからです。位が上がるほど $0$ に近づきます。

桁が確定していく

近似が進むようすを動かします。

桁を 1 つ足すたびに、一致する法が $3$ 倍になります。 $3^{n}$ の精度で $- 1$ に近づいている。

これが射影極限の中身です。各 $Z / 3^{n} Z$ での姿を、矛盾しないように全部並べたものが 1 つの元になります。

有限で止まらない点が、ふつうの整数との違いです。 $- 1$ は $Z$ の元ですが、 $3$ 進展開は無限に続きます。

単元の判定

$x \in Z_{p}$ が単元であることと、 $c_{0} \neq = 0$ であることが同値です。

$c_{0} = 0$ なら $x$ は $p$ で割れるので、 $x y = 1$ は $p$ で割れる数と割れない数を等しいと言うことになり、成り立ちません。

$c_{0} \neq = 0$ なら逆元が作れます。各 $Z / p^{n} Z$ の中で $x$ は可逆で、その逆元たちが両立するためです。

つまり単元でない元は $p$ で割れる元だけ。それらの全体が $p Z_{p}$ をなします。

$Z_{p}$ は局所環で、極大イデアルは $(p)$ です^[3]。

整域であること

$x, y \neq = 0$ とし、 $v_{p} (x) = m$ 、 $v_{p} (y) = n$ と置きます。

$x = p^{m} u$ 、 $y = p^{n} w$ と書けて、 $u, w$ は単元です。積は $p^{m + n} u w$ で、 $u w$ も単元です。

したがって $x y \neq = 0$ で、位数は $m + n$ になります。 $Z_{p}$ は整域です。

$Z / p^{2} Z$ とは違う点に注意が要ります。そちらでは $p \cdot p = 0$ になり、整域ではありません。

有限段で止めると零因子が出て、無限に伸ばすと消える。極限をとる意味がここにあります。

離散付値環である

3 条件がそろいました。整域であり、局所環であり、極大イデアルが $p$ 1 つで生成されます^[2]。

したがって $Z_{p}$ は離散付値環で、一様化元は $p$ です。 $p$ は $Z_{p}$ の唯一の素元になります^[1]。

イデアルも $p$ の冪しかありません。 $I \neq = 0$ なら、 $I$ の元の位数の最小値を $n$ として $I = (p^{n})$ です。

素イデアルは $(0)$ と $(p)$ の 2 つだけで、 $Spec Z_{p}$ は 2 点の空間になります^[3]。

付値環がネーターであることと、離散付値環または体であることが同値でした^[4]。 $Z_{p}$ はその離散付値環の側です。

$Z_{(p)}$ との違い

同じ付値を定める環がもう 1 つあります。分母が $p$ で割れない有理数の全体 $Z_{(p)}$ です。

Z_{(p)}

有理数の部分環。元はいつでも分数として書ける。付値は同じだが、完備ではない。

Z_{p}

完備化して得られる環。 $- 1$ の展開のように無限に続く桁をもつ元が入る。有理数でない元を含む。

$Z_{(p)} \subset Z_{p}$ で、稠密に入っています。どの $p$ 進整数も有理数の列で近似できる。

完備性が計算を楽にします。桁を 1 つずつ決めていく議論が、そのまま収束するためです。

同じ関係が $k [x]_{(x)} \subset k [[x]]$ にもあります^[5]。数論と幾何が同じ形をしている場面です。

ヘンゼルの補題

完備性のいちばん分かりやすい見返りが、根の持ち上げです^[1]。

$f \in Z_{p} [X]$ が $mod p$ で単純根をもつなら、 $Z_{p}$ の中に本物の根があります。単純根とは $f (a) \equiv 0$ かつ $f^{'} (a) \neq \equiv 0$ をみたす $a$ のことです。

桁を 1 つずつ決めていく手続きで示せます。 $mod p^{n}$ での解から $mod p^{n + 1}$ での解を作り、極限をとる。

微分が $0$ でないことが、各段で解が一意に決まるための条件です。ニュートン法の $p$ 進版と読めます。

例: $Z_{5}$ の中で $- 1$ の平方根を作る

$f (X) = X^{2} + 1$ を $p = 5$ で考えます。 $2^{2} + 1 = 5 \equiv 0 (mod 5)$ で、 $f^{'} (2) = 4 \neq \equiv 0 (mod 5)$ です。

単純根なので持ち上がります。次の桁を求めましょう。 $x = 2 + 5 t$ と置きます。

$x^{2} + 1 = 5 + 20 t + 25 t^{2}$ なので、 $mod 25$ で $5 (1 + 4 t) \equiv 0$ 、つまり $1 + 4 t \equiv 0 (mod 5)$ です。 $t \equiv 1$ となります。

$x = 7$ で確かめると $49 + 1 = 50 \equiv 0 (mod 25)$ です。次の桁も同じ手順で決まります。

$Z_{5}$ の中には $- 1$ の平方根があります。 $R$ にはないので、 $Q_{5}$ と $R$ は別の完備化だと分かる。

$p = 3$ では $X^{2} + 1$ が $mod 3$ で根をもたないので、 $Z_{3}$ に平方根はありません。 $p$ ごとに事情が変わります。

コンパクトであること

$Z_{p}$ は $p$ 進位相についてコンパクトです^[1]。

各桁が ${0, \dots, p - 1}$ という有限集合から選ばれ、その積として書けるためです。有限集合の可算個の積はコンパクトになります。

$Z$ はコンパクトではありません。完備化して初めて、この性質が出てきます。

単元群にも構造があります。 $p \neq = 2$ なら $Z_{p}^{\times} ≅ Z / (p - 1) Z \times Z_{p}$ です^[1]。

有限部分と $p$ 進部分に分かれる。 $1$ の冪根と、 $1$ に近い元の積として書けています。

練習

$Z_{3}$ の元として単元でないものはどれですか。

$- 1$
$6$
$1/2$
$5$

__RESULT__

単元かどうかは $3$ で割れるかどうかだけで決まります。 $6 = 2 \cdot 3$ なので $v_{3} (6) = 1$ となり、極大イデアル $(3)$ に入るので単元ではありません。 $- 1$ は展開の最下位桁が $2$ 、 $1/2$ は $2$ 、 $5$ は $2$ で、どれも $0$ でないので単元です。

最下位の桁を 1 か所見るだけで判定できます。

よくある誤り

まとめます。

Z_{p}

と

Z / p Z

を混同する。前者は無限に桁が続く整域で、後者は有限体である。

Z_{p}

と

Z_{(p)}

を同じものだと思う。完備かどうかが違う。

桁が右へ無限に続くと思う。伸びるのは左、位の大きいほうである。

p

進で発散する級数を実数の感覚で判定する。項が

0

に近づけば収束する。

すべての

p

で同じ根がとれると思う。

- 1

の平方根は

Z_{5}

にあり

Z_{3}

にない。

1/ p

が

Z_{p}

に入ると思う。位数が負なので

Q_{p}

の元である。

桁の向きと、位が上がるほど小さくなるという 2 点を押さえておけば迷いません。

参考文献

Nombre p-adique, Wikipédia (français).

Discrete valuation ring, Wikipedia (English).

Diskreter Bewertungsring, Wikipedia (Deutsch).

Section 10.50: Valuation rings, The Stacks Project.

Formal power series, Wikipedia (English).

$p$ 進整数は桁が左へ無限に続く数です。射影極限と完備化という 2 つの入口を並べ、$-1$ や $1/2$ の展開を実際に計算します。整域・局所環・極大イデアルが単項という 3 条件を 1 つずつ確かめると、$\mathbb{Z}_p$ が離散付値環になる。$\mathbb{Z}_{(p)}$ との違いは完備性だけです。ヘンゼルの補題で $\mathbb{Z}_5$ の中に $-1$ の平方根を作り、コンパクト性や単元群の形まで扱います。