p 進整数環 - 無限に続く桁が離散付値環をつくる

$p$ 進整数は、桁が左へ無限に続く数です。ふつうの小数が右へ無限に続くのと、向きがちょうど逆になります。

$$x=c_0+c_{1}p+c_2{p}^2+\cdots ,c_i\in \{0,1,\dots ,p-1\}$$

この形の元がなす環を ${\mathbb{Z}}_p$ と書きます。桁が有限で止まる元が、ふつうの非負整数です。

以下では 2 通りの作り方を並べ、負の数や分数の展開を実際に計算します。そのあと離散付値環の 3 条件を 1 つずつ確かめる。

2 通りの作り方

同じ環に、2 つの入口があります^[1]。

1 つは射影極限です。$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ を並べ、両立する剰余の組を元とします。

$${\mathbb{Z}}_p=\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$$

もう 1 つは完備化です。$\mathbb{Q}$ に $p$ 進絶対値 $|x{|}_p=p^{-v_p(x)}$ を入れ、コーシー列で完備化して ${\mathbb{Q}}_p$ を作り、その中で $|x{|}_p\le 1$ の元を集めます。

どちらからも同じ環が出ます。前者は桁の組、後者は極限としての姿です。

${\mathbb{Q}}_p={\mathbb{Z}}_p[1/p]$ が成り立ちます^[1]。分母に $p$ の冪だけを許すと、商体になる。

例: $-1$ の $p$ 進展開

負の数がどう書けるかを見ましょう。$p=3$ でやります。

$-1=2+2\cdot 3+2\cdot 9+2\cdot 27+\cdots$ と主張します。部分和を計算して確かめましょう。

$2$、$2+6=8$、$8+18=26$、$26+54=80$ と続きます。それぞれ $3,9,27,81$ で割った余りを見ると、すべて $-1$ と合同です。

級数として足しても同じです。$2(1+3+9+\cdots )=2\cdot \frac{1}{1-3}=-1$ になります。

ふつうの実数では発散する計算が、$p$ 進では意味をもちます。項が $0$ に近づくためです^[1]。

一般の $p$ では $-1=(p-1)+(p-1)p+(p-1)p^2+\cdots$ です。すべての桁が最大値で埋まる。

例: $1/2$ の 3 進展開

分数も書けます。$2$ が $3$ で割れないので、$1/2\in {\mathbb{Z}}_3$ です。

$1/2=2+1\cdot 3+1\cdot 9+1\cdot 27+\cdots$ になります。確かめましょう。

$2+(3+9+27+\cdots )=2+\frac{3}{1-3}=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$ です。

有限の桁でも検算できます。$2+3+9=14$ で、$2\cdot 14=28\equiv 1(\mathrm{mod}27)$ が成り立ちます。

$1/3$ は ${\mathbb{Z}}_3$ に入りません。$v_3(1/3)=-1$ で負だからです。${\mathbb{Q}}_3$ の元になります。

桁の並びとして見る

展開の形を図にします。

右端が $1$ の位で、左へ行くほど位が大きくなります。ふつうの数と並びは同じで、無限に伸びる向きが逆です。

無限に伸びても意味をもつのは、大きい位ほど $p$ 進では小さいからです。位が上がるほど $0$ に近づきます。

桁が確定していく

近似が進むようすを動かします。

桁を 1 つ足すたびに、一致する法が $3$ 倍になります。$3^n$ の精度で $-1$ に近づいている。

これが射影極限の中身です。各 $\mathbb{Z}/3^n\mathbb{Z}$ での姿を、矛盾しないように全部並べたものが 1 つの元になります。

有限で止まらない点が、ふつうの整数との違いです。$-1$ は $\mathbb{Z}$ の元ですが、$3$ 進展開は無限に続きます。

単元の判定

$x\in {\mathbb{Z}}_p$ が単元であることと、$c_0\ne 0$ であることが同値です。

$c_0=0$ なら $x$ は $p$ で割れるので、$xy=1$ は $p$ で割れる数と割れない数を等しいと言うことになり、成り立ちません。

$c_0\ne 0$ なら逆元が作れます。各 $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ の中で $x$ は可逆で、その逆元たちが両立するためです。

つまり単元でない元は $p$ で割れる元だけ。それらの全体が $p{\mathbb{Z}}_p$ をなします。

${\mathbb{Z}}_p$ は局所環で、極大イデアルは $(p)$ です^[3]。

整域であること

$x,y\ne 0$ とし、$v_p(x)=m$、$v_p(y)=n$ と置きます。

$x=p^{m}u$、$y=p^{n}w$ と書けて、$u,w$ は単元です。積は $p^{m+n}uw$ で、$uw$ も単元です。

したがって $xy\ne 0$ で、位数は $m+n$ になります。${\mathbb{Z}}_p$ は整域です。

$\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ とは違う点に注意が要ります。そちらでは $p\cdot p=0$ になり、整域ではありません。

有限段で止めると零因子が出て、無限に伸ばすと消える。極限をとる意味がここにあります。

離散付値環である

3 条件がそろいました。整域であり、局所環であり、極大イデアルが $p$ 1 つで生成されます^[2]。

したがって ${\mathbb{Z}}_p$ は離散付値環で、一様化元は $p$ です。$p$ は ${\mathbb{Z}}_p$ の唯一の素元になります^[1]。

イデアルも $p$ の冪しかありません。$I\ne 0$ なら、$I$ の元の位数の最小値を $n$ として $I=(p^n)$ です。

素イデアルは $(0)$ と $(p)$ の 2 つだけで、$\mathrm{Spec}{\mathbb{Z}}_p$ は 2 点の空間になります^[3]。

付値環がネーターであることと、離散付値環または体であることが同値でした^[4]。${\mathbb{Z}}_p$ はその離散付値環の側です。

${\mathbb{Z}}_{(p)}$ との違い

同じ付値を定める環がもう 1 つあります。分母が $p$ で割れない有理数の全体 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ です。

${\mathbb{Z}}_{(p)}\subset {\mathbb{Z}}_p$ で、稠密に入っています。どの $p$ 進整数も有理数の列で近似できる。

完備性が計算を楽にします。桁を 1 つずつ決めていく議論が、そのまま収束するためです。

同じ関係が $k[x{]}_{(x)}\subset k[[x]]$ にもあります^[5]。数論と幾何が同じ形をしている場面です。

ヘンゼルの補題

完備性のいちばん分かりやすい見返りが、根の持ち上げです^[1]。

$f\in {\mathbb{Z}}_p[X]$ が $\mathrm{mod}p$ で単純根をもつなら、${\mathbb{Z}}_p$ の中に本物の根があります。単純根とは $f(a)\equiv 0$ かつ $f^{\prime }(a)\not\equiv 0$ をみたす $a$ のことです。

桁を 1 つずつ決めていく手続きで示せます。$\mathrm{mod}{p}^n$ での解から $\mathrm{mod}{p}^{n+1}$ での解を作り、極限をとる。

微分が $0$ でないことが、各段で解が一意に決まるための条件です。ニュートン法の $p$ 進版と読めます。

例: ${\mathbb{Z}}_5$ の中で $-1$ の平方根を作る

$f(X)=X^2+1$ を $p=5$ で考えます。$2^2+1=5\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ で、$f^{\prime }(2)=4\not\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ です。

単純根なので持ち上がります。次の桁を求めましょう。$x=2+5t$ と置きます。

$x^2+1=5+20t+25t^2$ なので、$\mathrm{mod}25$ で $5(1+4t)\equiv 0$、つまり $1+4t\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ です。$t\equiv 1$ となります。

$x=7$ で確かめると $49+1=50\equiv 0(\mathrm{mod}25)$ です。次の桁も同じ手順で決まります。

${\mathbb{Z}}_5$ の中には $-1$ の平方根があります。$\mathbb{R}$ にはないので、${\mathbb{Q}}_5$ と $\mathbb{R}$ は別の完備化だと分かる。

$p=3$ では $X^2+1$ が $\mathrm{mod}3$ で根をもたないので、${\mathbb{Z}}_3$ に平方根はありません。$p$ ごとに事情が変わります。

コンパクトであること

${\mathbb{Z}}_p$ は $p$ 進位相についてコンパクトです^[1]。

各桁が $\{0,\dots ,p-1\}$ という有限集合から選ばれ、その積として書けるためです。有限集合の可算個の積はコンパクトになります。

$\mathbb{Z}$ はコンパクトではありません。完備化して初めて、この性質が出てきます。

単元群にも構造があります。$p\ne 2$ なら ${\mathbb{Z}}_p^{\times }\cong \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}\times {\mathbb{Z}}_p$ です^[1]。

有限部分と $p$ 進部分に分かれる。$1$ の冪根と、$1$ に近い元の積として書けています。

練習

最下位の桁を 1 か所見るだけで判定できます。

よくある誤り

まとめます。

桁の向きと、位が上がるほど小さくなるという 2 点を押さえておけば迷いません。

参考文献