形式的べき級数環 k[[t]] に親しむ

体 $k$ 上の形式的べき級数環 $k [[t]]$ は、離散付値環の最も素朴な例の一つです。多項式環 $k [t]$ とよく似ていますが、無限和を許すところが異なります。

定義

形式的べき級数とは、

$f = a_{0} + a_{1} t + a_{2} t^{2} + a_{3} t^{3} + \dots = n = 0 \sum \infty a_{n} t^{n}$

という形の式です。ここで $a_{n} \in k$ です。収束性は問わず、単に形式的な無限和として扱います。形式的べき級数全体の集合に、係数ごとの加法と通常の積（分配法則による）を定めると環になります。これが $k [[t]]$ です。

多項式環

k [t]

有限個の項しかもてない。 $1 + t + t^{2}$ は多項式だが、 $1 + t + t^{2} + t^{3} + \dots$ は多項式ではない。体 $k$ 上のユークリッド整域であり、素イデアルは $(0)$ と既約多項式で生成されるものである。

形式的べき級数環

k [[t]]

無限個の項をもてる。 $1 + t + t^{2} + \dots$ も $k [[t]]$ の元である。局所環であり、素イデアルは $(0)$ と $(t)$ の二つだけである。

$k [[t]]$ の単元（可逆元）は、定数項が $0$ でない元です。例えば $1 - t$ は単元で、逆元は等比級数

$\frac{1}{1 - t} = 1 + t + t^{2} + t^{3} + \dots$

です。一方、 $t$ や $t + t^{2}$ のように定数項が $0$ の元は単元ではありません。

定数項が $0$ の元全体は極大イデアル $(t)$ をなし、これが唯一の極大イデアルです。したがって $k [[t]]$ は局所環です。

極大イデアル $(t)$ は $t$ 一つで生成されるので、 $k [[t]]$ は離散付値環です。一様化元は $t$ です。

$0$ でない元 $f \in k [[t]]$ に対して、 $f = t^{n} u$ （ $u$ は単元）と一意に書けます。このときの $n$ を $f$ の位数（order）と呼び、 $ord (f) = n$ と書きます。この位数が離散付値を与えます。

$k [[t]]$ は、直線 $A^{1}$ の原点における「無限小近傍」を代数的に記述する環です。多項式環 $k [t]$ が直線全体を見るのに対し、 $k [[t]]$ は原点のごく近くだけを拡大して見る道具といえます。