付値はいったい何を測っているのか？割り切れる回数という物差し

付値が測っているのは、ある素元で何回割り切れるかという回数です。

$12 = 2^{2} \cdot 3$ なら、 $2$ で $2$ 回、 $3$ で $1$ 回割れます。この回数を $v_{2} (12) = 2$ 、 $v_{3} (12) = 1$ と書く。

大きさを測る道具に見えて、実際に測っているのは深さです。深く割り切れるほど値が大きくなります。

以下では素朴な数え方から公理へ進み、6 種類の付値を計算します。付値環との対応と、絶対値へ翻訳したときに起きる逆転まで見ていく。

有理数へ伸ばす

整数の上での $v_{p}$ は、分数へそのまま伸びます。 $v_{p} (a / b) = v_{p} (a) - v_{p} (b)$ と定めるだけです。

分子と分母のとり替えによらないことは、 $a / b = c / d$ なら $a d = b c$ となり、両辺の回数を比べれば分かります。

$v_{2} (3/8) = 0 - 3 = - 3$ です。分母に $2$ が入っているので、値は負になる。

$v_{2} (24/5) = 3 - 0 = 3$ です。分子だけに $2$ が入っています。

負の値が出るのが自然です。割り切れる回数を、割られる回数まで込みで数えている。

定義

体 $K$ の上の付値とは、順序付きアーベル群 $Γ$ へ向かう写像です^[1]。

$v : K ⟶ Γ \cup {\infty}$

次の 3 つを要求します。

v (ab) = v (a) + v (b)

が成り立つ。

v (a + b) \geq min {v (a), v (b)}

が成り立つ。

v (a) = \infty

であることと

a = 0

であることが同値。

$Γ$ の像 $v (K^{\times})$ を値群といいます。値群が $Z$ に同型なとき、 $v$ を離散付値と呼びます^[1]。

積が和になる点が要です。掛け算の情報を足し算に翻訳する道具、と読めます。

値が違えば不等号は等号になる

2 番目の公理は、値が異なるときに強くなります。

$v (a) < v (b)$ とすると $v (a + b) = v (a)$ が成り立ちます^[1]。証明は 2 回の適用で終わります。

まず $v (a + b) \geq min {v (a), v (b)} = v (a)$ です。逆向きを示しましょう。

$a = (a + b) - b$ と書けるので、 $v (a) \geq min {v (a + b), v (- b)}$ が成り立ちます。 $v (- b) = v (b)$ です。

もし右辺が $v (b)$ なら $v (a) \geq v (b)$ となり仮定に反します。したがって右辺は $v (a + b)$ で、 $v (a) \geq v (a + b)$ が出ました。

2 つの不等号を合わせて $v (a + b) = v (a)$ です。値が違う 2 つを足すと、小さいほうがそのまま残る。

例: $p$ 進付値を数える

$p = 3$ で計算しましょう。

$v_{3} (45) = 2$ です。 $45 = 3^{2} \cdot 5$ なので、 $3$ で 2 回割れます。

$v_{3} (7) = 0$ です。 $7$ は $3$ で 1 回も割れません。

$v_{3} (1/81) = - 4$ です。 $81 = 3^{4}$ が分母にあります。

$v_{3} (45 + 7) = v_{3} (52) = 0$ です。値が違う 2 つの和なので、小さいほうの $0$ がそのまま出ました。

$v_{3} (45 + 9) = v_{3} (54) = 3$ です。 $v_{3} (9) = 2$ と $v_{3} (45) = 2$ が等しいので、和で値が上がっています。

等しいときだけ上がる。この非対称が、超距離的な性質のもとになります。

割れる深さで層に分ける

整数を $v_{3}$ の値で塗り分けてみます。

$3$ の倍数が 1 段、 $9$ の倍数が 2 段、 $27$ の倍数が 3 段と、階段状に高くなります。

高い棒はまばらです。深く割れる数ほど数が少ない、という当たり前の事実が絵になっています。

例: べき級数と曲線

$p$ 進付値のほかにも、同じ形の道具がいくつもあります。

べき級数の位数

$k [[t]]$ の元 $f$ に対して、最初に $0$ でなくなる係数の番号を $ord (f)$ とします。 $f = t^{n} u$ と書けるので、 $t$ で何回割れるかを数えていることになります。

曲線上の点での位数

滑らかな曲線の点 $P$ をとり、一様化元を $t$ とします。関数 $f$ に対して $v_{P} (f)$ を、 $P$ での零点の位数と定めます。極では負の値になります。

自明な付値

$0$ でないすべての元に $0$ を対応させる写値です。公理はみたしますが何も測っていないので、ふつうは除外します^[1]。

値群が

Q

になる付値

ピュイズー級数の体では、指数に分数が現れます。 $t^{1/2}$ の位数は $1/2$ です。値が整数に並ばないので、離散付値ではありません。

最初の 3 つは値群が $Z$ か $0$ で、離散付値です。最後の 1 つだけが外れます。

離散かどうかは値群だけで決まる。環の側で言えば、ネーターかどうかに対応します^[4]。

絶対値へ翻訳する

付値から絶対値を作れます。 $0 < c < 1$ を固定して $∣ x ∣ = c^{v (x)}$ と定めるだけです^[1]。

$p$ 進の場合は $c = 1/ p$ をとり、 $∣ x ∣_{p} = p^{- v_{p} (x)}$ とするのが慣習です^[3]。

公理は次のように翻訳されます。 $v (ab) = v (a) + v (b)$ が $∣ ab ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣$ に、 $v (a + b) \geq min$ が $∣ a + b ∣ \leq max {∣ a ∣, ∣ b ∣}$ になる。

3 番目の形を超距離不等式といいます。通常の三角不等式より強い条件です。

符号が逆になる点に注意が要ります。付値が大きいほど絶対値は小さい。深く割れる数ほど $0$ に近い、という感覚になります。

深く割れる数は 0 に近い

この逆転を動かして見ましょう。

$3^{n}$ は、ふつうの絶対値では大きくなる一方です。 $3$ 進絶対値では $3^{- n}$ になり、 $0$ へ収束します。

同じ数列が、物差しを変えると逆の向きに動く。どちらが正しいという話ではなく、測る対象が違います。

この見方のもとでは、級数の収束判定がとても単純になります。項が $0$ に近づくことと級数が収束することが同値になるためです^[3]。

付値環

付値 $v$ に対して、値が非負の元を集めます。

$R_{v} = {a \in K : v (a) \geq 0}$

これは環です。積については $v (ab) = v (a) + v (b) \geq 0$ 、和については $v (a + b) \geq min \geq 0$ から従います^[1]。

$R_{v}$ は局所環になります。値が正の元の全体 $m_{v} = {v (a) > 0}$ が唯一の極大イデアルです。

証明は単元の判定に帰着します。 $a \in R_{v}$ が単元であることと $v (a) = 0$ であることが同値なので、単元でない元がちょうど $m_{v}$ になる。

単元でない元の全体がイデアルをなす環は局所環でした。だから $R_{v}$ は局所環です。

離散付値と離散付値環

値群が $Z$ のとき、 $R_{v}$ は離散付値環になります^[2]。

$v (π) = 1$ となる $π$ をとりましょう。 $v (a) = n$ なら $v (a π^{- n}) = 0$ なので、 $a = u π^{n}$ と書けます。

極大イデアルは $(π)$ です。値が $1$ 以上の元は、すべて $π$ で割り切れます。

逆に離散付値環からは位数の写像が作れました。2 つは同じものを別の角度から見たものです^[5]。

ネーター性が離散性に対応します。付値環がネーターであることと、離散付値環または体であることが同値です^[4]。

剰余体をとり出す

付値環からは、もう 1 つ体が出てきます。極大イデアルで割った剰余体です^[1]。

$k_{v} = R_{v} / m_{v}$

$p$ 進付値なら $Z_{p} / p Z_{p} = F_{p}$ です。もとの体は標数 $0$ なのに、剰余体は標数 $p$ になります。

$k [[t]]$ なら $k [[t]] / (t) = k$ です。この場合は標数が変わりません。

曲線の点 $P$ でとると、剰余体は $P$ での関数の値がなす体になります。付値が「深さ」を測り、剰余体が「値」を担う。

例: 3 進で級数を足す

超距離の効果を、収束の判定で見てみましょう。

$1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots$

ふつうの絶対値では発散します。項が大きくなる一方だからです。

$3$ 進絶対値では $∣ 3^{n} ∣_{3} = 3^{- n}$ で、項が $0$ へ近づきます。 $3$ 進では、項が $0$ に近づくことと級数が収束することが同値なので、この級数は収束します^[3]。

値まで求まります。 $S = 1 + 3 + 3^{2} + \dots$ とすると $3 S = S - 1$ から $S = - 1/2$ です。

$Q_{3}$ の中では等比級数の公式がそのまま使えます。 $1/ (1 - 3) = - 1/2$ という計算が正当化される。

実数の世界では意味をもたない式が、別の物差しのもとでは値をもちます。

付値環という言葉のもう 1 つの意味

$R_{v}$ には、付値を持ち出さずに書ける特徴があります^[4]。

整域 $R$ とその商体 $K$ について、 $K$ の $0$ でない元 $a$ に対して $a \in R$ または $a^{- 1} \in R$ が成り立つとき、 $R$ を付値環といいます。

$v$ から作った $R_{v}$ がこの条件をみたすことは、すぐ確かめられます。 $v (a) \geq 0$ でなければ $v (a^{- 1}) = - v (a) > 0$ になるためです。

逆向きも成り立ち、この条件をみたす環からは付値が復元できます。値群は $K^{\times} / R^{\times}$ に順序を入れたものです。

つまり付値と付値環は、同じ対象の 2 つの書き方です。どちらから出発しても同じところへ着きます。

三角形はすべて二等辺になる

超距離不等式からは、直観に反する事実がいくつも出ます。

3 点 $x, y, z$ をとり、距離を $d (x, y) = ∣ x - y ∣_{p}$ で測ります。値が違えば等号になるという性質から、次が言えます。

3 つの距離のうち、最大のものは必ず 2 回現れる。つまりどの三角形も二等辺三角形です。

$∣ x - y ∣ \neq = ∣ y - z ∣$ なら $∣ x - z ∣ = max {∣ x - y ∣, ∣ y - z ∣}$ になるためです。値が違う 2 つを足したときの規則そのものです。

球の内部の点はすべて中心になれる、という性質も同じ理由から出ます。 $p$ 進の世界では、球に中心という特別な点がありません。

練習

$v$ を体 $K$ 上の付値、 $v (a) = 3$ 、 $v (b) = 3$ とします。 $v (a + b)$ について確実に言えることはどれですか。

$v (a + b) = 3$ である
$v (a + b) \geq 3$ である
$v (a + b) = 6$ である
$v (a + b) \leq 3$ である

__RESULT__

値が等しい場合は、公理からの不等号 $v (a + b) \geq min {3, 3} = 3$ しか言えません。 $b = - a$ なら $a + b = 0$ で値は $\infty$ 、 $K = Q$ 、 $v = v_{3}$ 、 $a = b = 27$ なら $v (54) = 3$ です。等号になることも上がることもあります。値が違う場合にだけ、小さいほうに等しいと言い切れます。

等しいときだけ結論が弱くなる。ここを押さえておくと計算で迷いません。

よくある誤り

まとめて並べます。

付値が大きいほど数が大きいと思う。絶対値へ翻訳すると向きが逆になる。

v (a + b) = min {v (a), v (b)}

がいつでも成り立つと思う。値が等しいときは上がることがある。

値群が

Z

でなくても離散付値と呼ぶ。値群が

Z

に同型な場合だけである。

v (0)

を

0

とする。

0

はいくらでも割れるので

\infty

と約束する。

付値環が体だと思う。値が正の元は逆元をもたないので、体にはならない。

自明な付値を数えない。公理はみたすので、除外するときは明示する。

積を和に翻訳する道具、と一言で覚えておくと使いどころが見えてきます。

参考文献

Valuation (algebra)), Wikipedia (English).

Discrete valuation ring, Wikipedia (English).

Nombre p-adique, Wikipédia (français).

Section 10.50: Valuation rings, The Stacks Project.

Diskreter Bewertungsring, Wikipedia (Deutsch).

$12$ が $2$ で 2 回割れる、この回数を数える写像が付値です。積が和になるという公理から出発し、値が違う 2 つを足すと小さいほうがそのまま残ることを証明します。$3$ 進付値の計算、べき級数の位数、曲線上の零点と極、値群が $\mathbb{Q}$ になる例まで並べる。絶対値へ翻訳すると向きが逆転し、深く割れる数ほど $0$ に近くなります。付値環が局所環になること、三角形がすべて二等辺になることも扱います。