付値はいったい何を測っているのか？割り切れる回数という物差し

付値が測っているのは、ある素元で何回割り切れるかという回数です。

$12=2^2\cdot 3$ なら、$2$ で $2$ 回、$3$ で $1$ 回割れます。この回数を $v_2(12)=2$、$v_3(12)=1$ と書く。

大きさを測る道具に見えて、実際に測っているのは深さです。深く割り切れるほど値が大きくなります。

以下では素朴な数え方から公理へ進み、6 種類の付値を計算します。付値環との対応と、絶対値へ翻訳したときに起きる逆転まで見ていく。

有理数へ伸ばす

整数の上での $v_p$ は、分数へそのまま伸びます。$v_p(a/b)=v_p(a)-v_p(b)$ と定めるだけです。

分子と分母のとり替えによらないことは、$a/b=c/d$ なら $ad=bc$ となり、両辺の回数を比べれば分かります。

$v_2(3/8)=0-3=-3$ です。分母に $2$ が入っているので、値は負になる。

$v_2(24/5)=3-0=3$ です。分子だけに $2$ が入っています。

負の値が出るのが自然です。割り切れる回数を、割られる回数まで込みで数えている。

定義

体 $K$ の上の付値とは、順序付きアーベル群 $\Gamma$ へ向かう写像です^[1]。

$$v:K⟶\Gamma \cup \{\infty \}$$

次の 3 つを要求します。

$\Gamma$ の像 $v(K^{\times })$ を値群といいます。値群が $\mathbb{Z}$ に同型なとき、$v$ を離散付値と呼びます^[1]。

積が和になる点が要です。掛け算の情報を足し算に翻訳する道具、と読めます。

値が違えば不等号は等号になる

2 番目の公理は、値が異なるときに強くなります。

$v(a)<v(b)$ とすると $v(a+b)=v(a)$ が成り立ちます^[1]。証明は 2 回の適用で終わります。

まず $v(a+b)\ge \min \{v(a),v(b)\}=v(a)$ です。逆向きを示しましょう。

$a=(a+b)-b$ と書けるので、$v(a)\ge \min \{v(a+b),v(-b)\}$ が成り立ちます。$v(-b)=v(b)$ です。

もし右辺が $v(b)$ なら $v(a)\ge v(b)$ となり仮定に反します。したがって右辺は $v(a+b)$ で、$v(a)\ge v(a+b)$ が出ました。

2 つの不等号を合わせて $v(a+b)=v(a)$ です。値が違う 2 つを足すと、小さいほうがそのまま残る。

例: $p$ 進付値を数える

$p=3$ で計算しましょう。

$v_3(45)=2$ です。$45=3^2\cdot 5$ なので、$3$ で 2 回割れます。

$v_3(7)=0$ です。$7$ は $3$ で 1 回も割れません。

$v_3(1/81)=-4$ です。$81=3^4$ が分母にあります。

$v_3(45+7)=v_3(52)=0$ です。値が違う 2 つの和なので、小さいほうの $0$ がそのまま出ました。

$v_3(45+9)=v_3(54)=3$ です。$v_3(9)=2$ と $v_3(45)=2$ が等しいので、和で値が上がっています。

等しいときだけ上がる。この非対称が、超距離的な性質のもとになります。

割れる深さで層に分ける

整数を $v_3$ の値で塗り分けてみます。

$3$ の倍数が 1 段、$9$ の倍数が 2 段、$27$ の倍数が 3 段と、階段状に高くなります。

高い棒はまばらです。深く割れる数ほど数が少ない、という当たり前の事実が絵になっています。

例: べき級数と曲線

$p$ 進付値のほかにも、同じ形の道具がいくつもあります。

最初の 3 つは値群が $\mathbb{Z}$ か $0$ で、離散付値です。最後の 1 つだけが外れます。

離散かどうかは値群だけで決まる。環の側で言えば、ネーターかどうかに対応します^[4]。

絶対値へ翻訳する

付値から絶対値を作れます。$0<c<1$ を固定して $|x|=c^{v(x)}$ と定めるだけです^[1]。

$p$ 進の場合は $c=1/p$ をとり、$|x{|}_p=p^{-v_p(x)}$ とするのが慣習です^[3]。

公理は次のように翻訳されます。$v(ab)=v(a)+v(b)$ が $|ab|=|a||b|$ に、$v(a+b)\ge \min$ が $|a+b|\le \max \{|a|,|b|\}$ になる。

3 番目の形を超距離不等式といいます。通常の三角不等式より強い条件です。

符号が逆になる点に注意が要ります。付値が大きいほど絶対値は小さい。深く割れる数ほど $0$ に近い、という感覚になります。

深く割れる数は 0 に近い

この逆転を動かして見ましょう。

$3^n$ は、ふつうの絶対値では大きくなる一方です。$3$ 進絶対値では $3^{-n}$ になり、$0$ へ収束します。

同じ数列が、物差しを変えると逆の向きに動く。どちらが正しいという話ではなく、測る対象が違います。

この見方のもとでは、級数の収束判定がとても単純になります。項が $0$ に近づくことと級数が収束することが同値になるためです^[3]。

付値環

付値 $v$ に対して、値が非負の元を集めます。

$$R_v=\{a\in K:v(a)\ge 0\}$$

これは環です。積については $v(ab)=v(a)+v(b)\ge 0$、和については $v(a+b)\ge \min \ge 0$ から従います^[1]。

$R_v$ は局所環になります。値が正の元の全体 ${\mathfrak{m}}_v=\{v(a)>0\}$ が唯一の極大イデアルです。

証明は単元の判定に帰着します。$a\in R_v$ が単元であることと $v(a)=0$ であることが同値なので、単元でない元がちょうど ${\mathfrak{m}}_v$ になる。

単元でない元の全体がイデアルをなす環は局所環でした。だから $R_v$ は局所環です。

離散付値と離散付値環

値群が $\mathbb{Z}$ のとき、$R_v$ は離散付値環になります^[2]。

$v(\pi )=1$ となる $\pi$ をとりましょう。$v(a)=n$ なら $v(a{\pi }^{-n})=0$ なので、$a=u{\pi }^n$ と書けます。

極大イデアルは $(\pi )$ です。値が $1$ 以上の元は、すべて $\pi$ で割り切れます。

逆に離散付値環からは位数の写像が作れました。2 つは同じものを別の角度から見たものです^[5]。

ネーター性が離散性に対応します。付値環がネーターであることと、離散付値環または体であることが同値です^[4]。

剰余体をとり出す

付値環からは、もう 1 つ体が出てきます。極大イデアルで割った剰余体です^[1]。

$$k_v=R_v/{\mathfrak{m}}_v$$

$p$ 進付値なら ${\mathbb{Z}}_p/p{\mathbb{Z}}_p={\mathbb{F}}_p$ です。もとの体は標数 $0$ なのに、剰余体は標数 $p$ になります。

$k[[t]]$ なら $k[[t]]/(t)=k$ です。この場合は標数が変わりません。

曲線の点 $P$ でとると、剰余体は $P$ での関数の値がなす体になります。付値が「深さ」を測り、剰余体が「値」を担う。

例: 3 進で級数を足す

超距離の効果を、収束の判定で見てみましょう。

$$1+3+3^2+3^3+\cdots$$

ふつうの絶対値では発散します。項が大きくなる一方だからです。

$3$ 進絶対値では $|3^n{|}_3=3^{-n}$ で、項が $0$ へ近づきます。$3$ 進では、項が $0$ に近づくことと級数が収束することが同値なので、この級数は収束します^[3]。

値まで求まります。$S=1+3+3^2+\cdots$ とすると $3S=S-1$ から $S=-1/2$ です。

${\mathbb{Q}}_3$ の中では等比級数の公式がそのまま使えます。$1/(1-3)=-1/2$ という計算が正当化される。

実数の世界では意味をもたない式が、別の物差しのもとでは値をもちます。

付値環という言葉のもう 1 つの意味

$R_v$ には、付値を持ち出さずに書ける特徴があります^[4]。

整域 $R$ とその商体 $K$ について、$K$ の $0$ でない元 $a$ に対して $a\in R$ または $a^{-1}\in R$ が成り立つとき、$R$ を付値環といいます。

$v$ から作った $R_v$ がこの条件をみたすことは、すぐ確かめられます。$v(a)\ge 0$ でなければ $v(a^{-1})=-v(a)>0$ になるためです。

逆向きも成り立ち、この条件をみたす環からは付値が復元できます。値群は $K^{\times }/R^{\times }$ に順序を入れたものです。

つまり付値と付値環は、同じ対象の 2 つの書き方です。どちらから出発しても同じところへ着きます。

三角形はすべて二等辺になる

超距離不等式からは、直観に反する事実がいくつも出ます。

3 点 $x,y,z$ をとり、距離を $d(x,y)=|x-y{|}_p$ で測ります。値が違えば等号になるという性質から、次が言えます。

3 つの距離のうち、最大のものは必ず 2 回現れる。つまりどの三角形も二等辺三角形です。

$|x-y|\ne |y-z|$ なら $|x-z|=\max \{|x-y|,|y-z|\}$ になるためです。値が違う 2 つを足したときの規則そのものです。

球の内部の点はすべて中心になれる、という性質も同じ理由から出ます。$p$ 進の世界では、球に中心という特別な点がありません。

練習

等しいときだけ結論が弱くなる。ここを押さえておくと計算で迷いません。

よくある誤り

まとめて並べます。

積を和に翻訳する道具、と一言で覚えておくと使いどころが見えてきます。

参考文献