「位数を測る物差し」としての曲線上の点と離散付値環

曲線の滑らかな点を 1 つ選ぶと、そこに離散付値環が 1 つ決まります。

その環がもつ位数の写像が、「この関数は $P$ で何位の零点をもつか」を答えます。点を選ぶことと、物差しを 1 本選ぶことが同じになる。

以下では局所環を書き下し、滑らかな点でそれが離散付値環になることを示します。位数の計算を 6 つ並べ、点と付値が 1 対 1 に対応するところまで進む。

曲線の局所環

体 $k$ の上のアフィン曲線 $C$ をとります。定義多項式を $f(x,y)$ として、座標環は $A=k[x,y]/(f)$ です。

点 $P$ に対応する極大イデアルを ${\mathfrak{m}}_P$ と書きます。$P=(a,b)$ なら ${\mathfrak{m}}_P=(x-a,y-b)$ の像です。

局所環は、この極大イデアルでの局所化として定めます。

$${\mathcal{O}}_{C,P}=A_{{\mathfrak{m}}_P}$$

分母に $P$ で消えない関数を許した環です。$P$ の近くだけを見る、という操作にあたります。

$f$ が既約なら $A$ は $1$ 次元の整域で、局所化しても次元は $1$ のままです。

滑らかな点では離散付値環になる

$P$ が滑らかなら、${\mathcal{O}}_{C,P}$ は離散付値環です^[1]。理由を順にたどります。

滑らかとは局所環が正則であることでした。$1$ 次元で正則なら、極大イデアルは 1 本の元で生成されます^[4]。

$1$ 次元の局所整域で極大イデアルが単項なら、それが離散付値環の定義そのものです。

言い換えの側から見ることもできます。整閉なネーター局所整域で次元が $1$ のものが離散付値環になる^[3]。滑らかな点の局所環はこの条件をみたします。

環がネーターであることは、$A$ が有限生成 $k$ 代数であることから出ます。局所化はネーター性を保ちます。

一様化元は局所座標である

極大イデアルの生成元 $t$ を一様化元といいます。曲線の上では、これが $P$ での局所座標にあたります。

$P$ の近くの点を 1 つの数で指定するための目盛り、と読めます。滑らかな点の近くが直線と同じようにふるまう、という事実の代数版です。

目盛りのとり替えには自由があります。$t$ と $t+t^2$ はどちらも一様化元で、単元倍の違いしかありません。

自由があっても、位数は変わりません。位数は目盛りの選び方によらない量です。

例: 放物線の原点

$C:y=x^2$ の原点を調べます。座標環は $k[x,y]/(y-x^2)\cong k[x]$ です。

$y$ を $x^2$ で置き換えられるので、変数が 1 本に減ります。極大イデアルは $(x)$ になる。

局所環は $k[x{]}_{(x)}$ で、一様化元は $x$ です。位数は $x$ で何回割れるかを数えます。

$y=x^2$ の位数は $2$ です。曲線の上では $y$ が $x^2$ に等しいので、$x$ で 2 回割れます。

座標の $x$ と $y$ で位数が違う。曲線に制限したときに初めて決まる量だ、と分かります。

例: 円の上の点

$C:x^2+y^2=1$ の点 $P=(1,0)$ をとります。${\mathfrak{m}}_P=(x-1,y)$ です。

曲線の上では $x^2-1=-y^2$、つまり $(x-1)(x+1)=-y^2$ が成り立ちます。$x+1$ は $P$ で $2$ なので単元です。

したがって $x-1=-y^2/(x+1)$ となり、$x-1$ は $(y)$ に入ります。${\mathfrak{m}}_P=(y)$ と単項に書けました。

一様化元は $y$ で、$x-1$ の位数は $2$ になります。円が $P$ で $y$ 軸に平行な接線をもつことと対応しています。

$P=(0,1)$ でとれば立場が入れ替わります。そこでは $x$ が一様化元で、$y-1$ の位数が $2$ です。

例: 尖点では成り立たない

$C:y^2=x^3$ の原点では、対応が崩れます。局所環は $k[x,y{]}_{(x,y)}/(y^2-x^3)$ です。

次元は $1$ ですが、極大イデアルは単項になりません。定義式が $2$ 次から始まるので、$x$ と $y$ のあいだに $1$ 次の関係が生まれないためです。

整閉でもありません。$t=y/x$ が商体の元で、$t^2=x$ という整な関係をみたすのに環に入らない。

$1$ 次元で局所で整域という条件だけでは足りない、という例になっています^[3]。

位数を定めようとしても、$x$ の位数を $2$、$y$ の位数を $3$ とするしかありません。値が $1$ を飛ばすので、$\mathbb{Z}$ の全体を値域にできない。

消え方の速さを見る

位数の違いを動かして見ましょう。

3 本の棒が、同じ $t$ に対して違う高さになります。位数が高いほど短い。

位数とは、この消え方の速さに付けた番号です。$t^n$ と同じ速さで消えるなら位数 $n$、と決めています。

比べているのは速さであって、値そのものではありません。だから座標のとり方に左右されない量になります。

零点と極を 1 つの整数で書く

位数の写像は、商体まで自然に伸びます。曲線の関数体を $K(C)$ と書きましょう。

$f\in K(C{)}^{\times }$ に対して $v_P(f)$ を定めます。$f=t^{n}u$（$u$ は $P$ で $0$ でない）と書いたときの $n$ です。

$$v_P(f)>0⟺P\text{ は零点},v_P(f)<0⟺P\text{ は極}$$

零点の位数と極の位数が、符号だけの違いで書けます。2 つの概念を 1 つの整数にまとめたことになる。

$v_P(f)=0$ なら、$f$ は $P$ で $0$ でも無限大でもありません。ほとんどの点ではこの場合です。

例: 位数を 3 つ計算する

$C={\mathbb{A}}^1$、つまり $K(C)=k(x)$ で計算します。点は $x=a$ です。

$f=(x-2{)}^3(x+1)$ を $a=2$ で見ると、一様化元は $x-2$ で $x+1$ は単元です。よって $v_2(f)=3$。

$g=\frac{x+1}{(x-2{)}^3}$ なら $v_2(g)=-3$ で、$x=2$ に 3 位の極があります。

$h=\frac{x^2-4}{x^2-1}$ を $a=2$ で見ましょう。分子は $(x-2)(x+2)$、分母は $P$ で $3$ なので単元です。$v_2(h)=1$。

同じ $h$ を $a=1$ で見ると、分母の $x-1$ が効いて $v_1(h)=-1$ になります。点を変えると値が変わる。

点と付値の対応

ここまでは点から付値を作りました。逆向きも成り立ちます。

滑らかな射影曲線 $C$ について、$C$ の点と、関数体 $K(C)$ 上の離散付値のうち $k$ 上自明なものが 1 対 1 に対応します。

対応は素直です。付値 $v$ に対して、$v\ge 0$ の元がなす付値環をとり、その極大イデアルに対応する点を選びます。

付値環がネーターであることと、離散付値環または体であることが同値なので^[5]、この対応の行き先はちょうど曲線の点になります。

曲線を関数体から復元できる、という言い方もできます。幾何の対象が、体の代数的な情報だけで書き直せる。

例: 射影直線のすべての付値

${\mathbb{P}}^1$ で対応を確かめます。関数体は $k(x)$ です。

有限な点 $a$ からは $v_a$ が出ます。$x-a$ で何回割れるかを数える付値です。

無限遠点にも付値があります。$s=1/x$ を一様化元として、$v_{\infty }(f)=-\mathrm{deg}f$ となる付値です。

多項式 $f$ が高次なほど、無限遠で速く発散します。だから位数は負で、次数のぶんだけ深い極になる。

$k(x)$ 上の自明でない離散付値はこれで尽きます。有限な点たちと無限遠点、合わせて ${\mathbb{P}}^1$ の点の全体です。

位数の総和は 0 になる

射影直線では、きれいな等式が成り立ちます。

$$\sum _{P\in {\mathbb{P}}^1}{v}_P(f)=0$$

$f$ が $0$ でない有理関数なら、零点の位数の和と極の位数の和が釣り合います。

$f=x$ で確かめましょう。$v_0(x)=1$、$v_{\infty }(x)=-1$、ほかの点では $0$ です。和は $0$ になります。

$f=\frac{x-2}{(x-1{)}^2}$ なら $v_2=1$、$v_1=-2$、$v_{\infty }=-(1-2)=1$ です。合計はやはり $0$。

多項式で試すと $v_{\infty }$ の役割が見えます。$f=x^3$ は原点に 3 位の零点をもち、無限遠に 3 位の極をもちます。

コンパクトな曲線では零点と極が同じ数だけある。この釣り合いが、因子の理論の出発点になります。

完備化すると形が 1 つに決まる

局所環を完備化すると、さらに形がそろいます。

滑らかな点の完備局所環は、剰余体上の形式的べき級数環に同型です。${\hat{\mathcal{O}}}_{C,P}\cong k[[t]]$ になります。

どの曲線のどの滑らかな点でも同じ形です。局所的には曲線どうしの区別が付かない、ということです。

違いが出るのは大域的な構造だけになります。曲線の分類が大域の問題になるのは、この事実の裏返しです。

${\mathbb{Z}}_{(p)}$ と ${\mathbb{Z}}_p$ の関係と同じ形です^[2]。数論と曲線論が同じ言葉で書ける理由が、ここにあります。

特異点では対応が崩れる

対応が成り立つのは滑らかな点だけです。特異点では 2 つのずれ方をします。

尖点では、局所環が離散付値環になりません。位数の値が $\mathbb{Z}$ の全体を動かないためです。

結節点では、原点の上に付値が 2 つ乗ります。正規化で原点へ行く点が 2 つあり、それぞれが付値を与えるからです。

いずれの場合も、正規化してから数えれば付値の側は正しく並びます。ずれているのは、もとの曲線の点の側です。

練習

定義式を使って位数を比べる、という手が使えると計算が速くなります。

よくある誤り

最後に並べます。

一様化元を 1 つ書き下してから計算を始めると、ほとんどの誤りは防げます。

参考文献