「位数を測る物差し」としての曲線上の点と離散付値環

曲線の滑らかな点を 1 つ選ぶと、そこに離散付値環が 1 つ決まります。

その環がもつ位数の写像が、「この関数は $P$ で何位の零点をもつか」を答えます。点を選ぶことと、物差しを 1 本選ぶことが同じになる。

以下では局所環を書き下し、滑らかな点でそれが離散付値環になることを示します。位数の計算を 6 つ並べ、点と付値が 1 対 1 に対応するところまで進む。

曲線の局所環

体 $k$ の上のアフィン曲線 $C$ をとります。定義多項式を $f (x, y)$ として、座標環は $A = k [x, y] / (f)$ です。

点 $P$ に対応する極大イデアルを $m_{P}$ と書きます。 $P = (a, b)$ なら $m_{P} = (x - a, y - b)$ の像です。

局所環は、この極大イデアルでの局所化として定めます。

$O_{C, P} = A_{m_{P}}$

分母に $P$ で消えない関数を許した環です。 $P$ の近くだけを見る、という操作にあたります。

$f$ が既約なら $A$ は $1$ 次元の整域で、局所化しても次元は $1$ のままです。

滑らかな点では離散付値環になる

$P$ が滑らかなら、 $O_{C, P}$ は離散付値環です^[1]。理由を順にたどります。

滑らかとは局所環が正則であることでした。 $1$ 次元で正則なら、極大イデアルは 1 本の元で生成されます^[4]。

$1$ 次元の局所整域で極大イデアルが単項なら、それが離散付値環の定義そのものです。

言い換えの側から見ることもできます。整閉なネーター局所整域で次元が $1$ のものが離散付値環になる^[3]。滑らかな点の局所環はこの条件をみたします。

環がネーターであることは、 $A$ が有限生成 $k$ 代数であることから出ます。局所化はネーター性を保ちます。

一様化元は局所座標である

極大イデアルの生成元 $t$ を一様化元といいます。曲線の上では、これが $P$ での局所座標にあたります。

$P$ の近くの点を 1 つの数で指定するための目盛り、と読めます。滑らかな点の近くが直線と同じようにふるまう、という事実の代数版です。

目盛りのとり替えには自由があります。 $t$ と $t + t^{2}$ はどちらも一様化元で、単元倍の違いしかありません。

自由があっても、位数は変わりません。位数は目盛りの選び方によらない量です。

例: 放物線の原点

$C : y = x^{2}$ の原点を調べます。座標環は $k [x, y] / (y - x^{2}) ≅ k [x]$ です。

$y$ を $x^{2}$ で置き換えられるので、変数が 1 本に減ります。極大イデアルは $(x)$ になる。

局所環は $k [x]_{(x)}$ で、一様化元は $x$ です。位数は $x$ で何回割れるかを数えます。

$y = x^{2}$ の位数は $2$ です。曲線の上では $y$ が $x^{2}$ に等しいので、 $x$ で 2 回割れます。

座標の $x$ と $y$ で位数が違う。曲線に制限したときに初めて決まる量だ、と分かります。

例: 円の上の点

$C : x^{2} + y^{2} = 1$ の点 $P = (1, 0)$ をとります。 $m_{P} = (x - 1, y)$ です。

曲線の上では $x^{2} - 1 = - y^{2}$ 、つまり $(x - 1) (x + 1) = - y^{2}$ が成り立ちます。 $x + 1$ は $P$ で $2$ なので単元です。

したがって $x - 1 = - y^{2} / (x + 1)$ となり、 $x - 1$ は $(y)$ に入ります。 $m_{P} = (y)$ と単項に書けました。

一様化元は $y$ で、 $x - 1$ の位数は $2$ になります。円が $P$ で $y$ 軸に平行な接線をもつことと対応しています。

$P = (0, 1)$ でとれば立場が入れ替わります。そこでは $x$ が一様化元で、 $y - 1$ の位数が $2$ です。

例: 尖点では成り立たない

$C : y^{2} = x^{3}$ の原点では、対応が崩れます。局所環は $k [x, y]_{(x, y)} / (y^{2} - x^{3})$ です。

次元は $1$ ですが、極大イデアルは単項になりません。定義式が $2$ 次から始まるので、 $x$ と $y$ のあいだに $1$ 次の関係が生まれないためです。

整閉でもありません。 $t = y / x$ が商体の元で、 $t^{2} = x$ という整な関係をみたすのに環に入らない。

$1$ 次元で局所で整域という条件だけでは足りない、という例になっています^[3]。

位数を定めようとしても、 $x$ の位数を $2$ 、 $y$ の位数を $3$ とするしかありません。値が $1$ を飛ばすので、 $Z$ の全体を値域にできない。

消え方の速さを見る

位数の違いを動かして見ましょう。

canvas: 置き場が受け取りませんでした

3 本の棒が、同じ $t$ に対して違う高さになります。位数が高いほど短い。

位数とは、この消え方の速さに付けた番号です。 $t^{n}$ と同じ速さで消えるなら位数 $n$ 、と決めています。

比べているのは速さであって、値そのものではありません。だから座標のとり方に左右されない量になります。

零点と極を 1 つの整数で書く

位数の写像は、商体まで自然に伸びます。曲線の関数体を $K (C)$ と書きましょう。

$f \in K (C)^{\times}$ に対して $v_{P} (f)$ を定めます。 $f = t^{n} u$ （ $u$ は $P$ で $0$ でない）と書いたときの $n$ です。

$v_{P} (f) > 0 ⟺ P は零点, v_{P} (f) < 0 ⟺ P は極$

零点の位数と極の位数が、符号だけの違いで書けます。2 つの概念を 1 つの整数にまとめたことになる。

$v_{P} (f) = 0$ なら、 $f$ は $P$ で $0$ でも無限大でもありません。ほとんどの点ではこの場合です。

例: 位数を 3 つ計算する

$C = A^{1}$ 、つまり $K (C) = k (x)$ で計算します。点は $x = a$ です。

$f = (x - 2)^{3} (x + 1)$ を $a = 2$ で見ると、一様化元は $x - 2$ で $x + 1$ は単元です。よって $v_{2} (f) = 3$ 。

$g = \frac{x + 1}{( x - 2 ) ^{3}}$ なら $v_{2} (g) = - 3$ で、 $x = 2$ に 3 位の極があります。

$h = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - 1}$ を $a = 2$ で見ましょう。分子は $(x - 2) (x + 2)$ 、分母は $P$ で $3$ なので単元です。 $v_{2} (h) = 1$ 。

同じ $h$ を $a = 1$ で見ると、分母の $x - 1$ が効いて $v_{1} (h) = - 1$ になります。点を変えると値が変わる。

点と付値の対応

ここまでは点から付値を作りました。逆向きも成り立ちます。

滑らかな射影曲線 $C$ について、 $C$ の点と、関数体 $K (C)$ 上の離散付値のうち $k$ 上自明なものが 1 対 1 に対応します。

対応は素直です。付値 $v$ に対して、 $v \geq 0$ の元がなす付値環をとり、その極大イデアルに対応する点を選びます。

付値環がネーターであることと、離散付値環または体であることが同値なので^[5]、この対応の行き先はちょうど曲線の点になります。

曲線を関数体から復元できる、という言い方もできます。幾何の対象が、体の代数的な情報だけで書き直せる。

例: 射影直線のすべての付値

$P^{1}$ で対応を確かめます。関数体は $k (x)$ です。

有限な点 $a$ からは $v_{a}$ が出ます。 $x - a$ で何回割れるかを数える付値です。

無限遠点にも付値があります。 $s = 1/ x$ を一様化元として、 $v_{\infty} (f) = - de g f$ となる付値です。

多項式 $f$ が高次なほど、無限遠で速く発散します。だから位数は負で、次数のぶんだけ深い極になる。

$k (x)$ 上の自明でない離散付値はこれで尽きます。有限な点たちと無限遠点、合わせて $P^{1}$ の点の全体です。

位数の総和は 0 になる

射影直線では、きれいな等式が成り立ちます。

$P \in P^{1} \sum v_{P} (f) = 0$

$f$ が $0$ でない有理関数なら、零点の位数の和と極の位数の和が釣り合います。

$f = x$ で確かめましょう。 $v_{0} (x) = 1$ 、 $v_{\infty} (x) = - 1$ 、ほかの点では $0$ です。和は $0$ になります。

$f = \frac{x - 2}{( x - 1 ) ^{2}}$ なら $v_{2} = 1$ 、 $v_{1} = - 2$ 、 $v_{\infty} = - (1 - 2) = 1$ です。合計はやはり $0$ 。

多項式で試すと $v_{\infty}$ の役割が見えます。 $f = x^{3}$ は原点に 3 位の零点をもち、無限遠に 3 位の極をもちます。

コンパクトな曲線では零点と極が同じ数だけある。この釣り合いが、因子の理論の出発点になります。

完備化すると形が 1 つに決まる

局所環を完備化すると、さらに形がそろいます。

滑らかな点の完備局所環は、剰余体上の形式的べき級数環に同型です。 $O_{C, P} ≅ k [[t]]$ になります。

どの曲線のどの滑らかな点でも同じ形です。局所的には曲線どうしの区別が付かない、ということです。

違いが出るのは大域的な構造だけになります。曲線の分類が大域の問題になるのは、この事実の裏返しです。

局所環

点ごとの情報を保つ。曲線が違えば環も違い、有理関数の分母の許され方に差が出る。

完備局所環

どの滑らかな点でも $k [[t]]$ に同型。局所的な情報がすべて同じになるので、大域の差だけが残る。

$Z_{(p)}$ と $Z_{p}$ の関係と同じ形です^[2]。数論と曲線論が同じ言葉で書ける理由が、ここにあります。

特異点では対応が崩れる

対応が成り立つのは滑らかな点だけです。特異点では 2 つのずれ方をします。

尖点では、局所環が離散付値環になりません。位数の値が $Z$ の全体を動かないためです。

結節点では、原点の上に付値が 2 つ乗ります。正規化で原点へ行く点が 2 つあり、それぞれが付値を与えるからです。

滑らかな点。局所環が離散付値環になり、点と付値が 1 対 1 に対応する。

尖点。局所環が離散付値環でなく、整閉包をとると付値が 1 つ現れる。

結節点。整閉包をとると付値が 2 つ現れ、1 点に 2 つの物差しが乗る。

いずれの場合も、正規化してから数えれば付値の側は正しく並びます。ずれているのは、もとの曲線の点の側です。

練習

$C : x^{2} + y^{2} = 1$ の点 $P = (1, 0)$ における $x - 1$ の位数はいくつですか。

0
1
2
定まらない

__RESULT__

曲線の上では $(x - 1) (x + 1) = - y^{2}$ が成り立ちます。 $x + 1$ は $P$ で $2$ なので単元で、 $P$ での一様化元は $y$ です。両辺の位数を比べると $v (x - 1) + 0 = 2 v (y) = 2$ となり、位数は $2$ です。 $P$ での接線が $y$ 軸に平行であることと対応しています。

定義式を使って位数を比べる、という手が使えると計算が速くなります。

よくある誤り

最後に並べます。

座標関数の位数がいつでも

1

だと思う。放物線の

y

は原点で位数

2

である。

位数が一様化元の選び方で変わると思う。単元倍の違いしか出ないので変わらない。

特異点にも離散付値環が対応すると思う。尖点の局所環は極大イデアルが単項でない。

零点だけを位数で測ると思う。極は負の位数として同じ写像に含まれる。

無限遠点を忘れる。多項式の位数の総和が

0

になるのは、無限遠の極を数えたときである。

局所環と完備局所環を同じものだと思う。完備化するとどの点でも同じ形になる。

一様化元を 1 つ書き下してから計算を始めると、ほとんどの誤りは防げます。

参考文献

Discrete valuation ring, Wikipedia (English).

Diskreter Bewertungsring, Wikipedia (Deutsch).

Anneau de valuation discrète, Wikipédia (français).

Regular local ring, Wikipedia (English).

Section 10.50: Valuation rings, Lemma 10.50.18, The Stacks Project.

曲線の滑らかな点を 1 つ選ぶと、そこに離散付値環が 1 つ決まります。局所環を書き下し、正則性から極大イデアルが単項になることを確かめ、一様化元が局所座標にあたることを見ていきます。放物線の原点で $y$ の位数が 2 になる計算、円の点で $x-1$ の位数が 2 になる計算、尖点で対応が崩れる理由まで。零点と極を 1 つの整数にまとめると、射影直線では位数の総和が 0 になる。完備化すると、どの滑らかな点も $k[[t]]$ に同型です。