正則局所環の定義、なぜ生成元の個数と次元を比べるのか

正則局所環は、極大イデアルを生成するのに「ちょうど必要なだけ」の元しか要らない環です。

数えるものが 2 つあります。素イデアルの鎖の長さである Krull 次元と、極大イデアルの生成元の最小個数。この 2 つが一致するとき正則といいます^[1]。

一致しない側にずれることはありません。いつでも生成元のほうが多いか等しいかで、等しいときが最良の場合です。

以下では定義を線形代数の言葉へ翻訳し、正則な例を 4 つ、正則でない例を 4 つ計算します。最後に正則性から出てくる強い性質を並べる。

定義

$(R,\mathfrak{m})$ をネーター局所環、$k=R/\mathfrak{m}$ を剰余体とします。$R$ が正則であるとは次が成り立つことです。

$$\dim R={\dim }_k\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$$

左辺は Krull 次元、右辺はザリスキ余接空間の次元です。右辺の双対がザリスキ接空間で、幾何の接空間にあたります。

右辺は埋め込み次元とも呼ばれます。この呼び名は、いちばん少ない変数で書こうとしたときに要る変数の本数、という意味です。

中山の補題で生成元を数える

右辺が生成元の最小個数になる理由を確かめます。中山の補題が働いています。

$x_1,\dots ,x_n\in \mathfrak{m}$ の像が $\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ を $k$ 上張るとしましょう。$M=\mathfrak{m}/(x_1,\dots ,x_n)$ と置くと $\mathfrak{m}M=M$ になります。

$M$ は有限生成なので、中山の補題から $M=0$ です。つまり $x_1,\dots ,x_n$ が $\mathfrak{m}$ を生成します。

逆に $\mathfrak{m}$ の生成元は $\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ を張ります。したがって生成元の最小個数と ${\dim }_k\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ が一致する。

イデアルの生成という問題が、ベクトル空間の次元という線形代数の問題に落ちました。ここが定義の要です。

証明: 埋め込み次元は次元以上になる

ずれる向きが片方だけである理由も、定理 1 本で済みます。

クルルの標高定理から、$n$ 個の元で生成されるイデアルの上に極小な素イデアルは、高さが $n$ 以下です^[2]。

$\mathfrak{m}$ が $n$ 個で生成されるなら、$\mathfrak{m}$ 自身の高さが $n$ 以下になります。局所環では $\dim R=\mathrm{ht}\mathfrak{m}$ なので、次の不等号を得ます。

$$\dim R\le {\dim }_k\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$$

正則とは、この不等号が等号になる場合です。余分な生成元が 1 本もない状態を指しています。

例: 体は 0 次元の正則局所環

体 $k$ では $\mathfrak{m}=(0)$ です。素イデアルの鎖は 1 つの項しか作れないので $\dim k=0$ になります。

$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2=0$ なので右辺も $0$ です。両辺が一致するので、体は正則局所環になります。

$0$ 次元で正則な局所環は体だけです。$\mathfrak{m}={\mathfrak{m}}^2$ から中山の補題で $\mathfrak{m}=0$ が出るためです。

例: 離散付値環は 1 次元の正則局所環

$\mathfrak{m}=(\pi )$ と単項に書ける局所整域を考えます。生成元が 1 本なので埋め込み次元は $1$ です。

次元も $1$ になります。素イデアルは $(0)⊊(\pi )$ の 2 つしかないためです。

したがって離散付値環は正則です。逆に $1$ 次元の正則局所環は極大イデアルが単項なので、離散付値環になります^[4]。

$k[[t]]$ や ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ や ${\mathbb{Z}}_p$ が、この形の代表例です^[1]。

例: 多項式環を原点で局所化する

$R=k[x_1,\dots ,x_n{]}_{(x_1,\dots ,x_n)}$ とします。極大イデアルは $(x_1,\dots ,x_n)$ で、生成元は $n$ 本です。

$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ の基底は $x_1,\dots ,x_n$ の像です。$2$ 次以上の単項式はすべて ${\mathfrak{m}}^2$ に落ちるので、残るのは $1$ 次の項だけになります。

次元も $n$ です。多項式環の Krull 次元が変数の個数に等しいことから従います^[3]。

両辺が $n$ でそろうので正則です。アフィン空間のどの点も滑らかである、という事実の代数版になります。

例: 形式的べき級数環

$k[[x_1,\dots ,x_n]]$ も $n$ 次元の正則局所環です。極大イデアルは変数全体で生成されます。

多項式環の場合と計算はまったく同じです。$2$ 次以上の項が ${\mathfrak{m}}^2$ に落ちる構造が変わらないためです。

この環が基準になります。剰余体を含むネーター完備正則局所環は、形式的べき級数環に同型だからです^[1]。

つまり正則性とは、完備化してしまえば「変数を並べただけ」に見える性質です。

接空間が本体と同じ大きさか

正則かどうかを図で見ておきます。

左は接空間が曲線と同じ $1$ 次元で、正則な点です。右は接空間が平面ぜんぶに広がってしまい、$1$ 次元の曲線に対して大きすぎます。

余接空間 $\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ は、この接空間の双対でした。次元を比べるとは、図の 2 つの大きさを比べることです。

例外なく起きる 1 次の項の有無

正則かどうかは、定義式の $1$ 次の項があるかどうかで決まります。動かして確かめましょう。

$t\ne 0$ のあいだ、定義式には $tx$ という $1$ 次の項があります。$f_x(0,0)=-t\ne 0$ なので原点は滑らかです。

$t=0$ になった瞬間だけ $1$ 次の項が消えます。$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ の中で $x$ と $y$ を結ぶ関係がなくなり、埋め込み次元が $2$ へ上がる。

$1$ 次の項は、$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ の中でただ 1 つ生き残る情報です。そこに関係式が届くかどうかが、正則性を決めています。

正則でない例を 4 つ

反例を並べて、ずれ方の種類を見ます。

最後の例は整域ですらありません。正則局所環はいつでも整域なので、この時点で外れています。

ずれの大きさは特異性の重さと関係しますが、型までは決めません。尖点と結節点が同じ数になった点が、その証拠です。

正則パラメータ系

$\dim R=n$ で正則なとき、$\mathfrak{m}$ を生成する $n$ 個の元 $x_1,\dots ,x_n$ を正則パラメータ系といいます。

局所座標にあたるものです。$n$ 次元の空間を $n$ 本の座標で書ける、という状況を代数の言葉で言い直しています。

正則でなければ、どう選んでも $n$ 本では足りません。座標が素直にとれない、という言い方はここから来ます。

持ち上げの自由度は ${\mathfrak{m}}^2$ のぶんだけあります。座標のとり替えにあたる自由度です。

正則なら整域である

正則性からは、かなり強い結論が出ます。まず整域であることを見ましょう。

付随次数環 ${\mathrm{gr}}_{\mathfrak{m}}(R)={⨁}_{n\ge 0}{\mathfrak{m}}^n/{\mathfrak{m}}^{n+1}$ を作ります。$R$ が正則なら、これは $k$ 上の $n$ 変数多項式環に同型です。

多項式環は整域です。付随次数環が整域なら、もとのネーター局所環も整域になります。

$0$ でない $a,b$ をとり、$a\in {\mathfrak{m}}^i\setminus {\mathfrak{m}}^{i+1}$、$b\in {\mathfrak{m}}^j\setminus {\mathfrak{m}}^{j+1}$ とします。次数環で像の積が $0$ でないので、$ab\notin {\mathfrak{m}}^{i+j+1}$、特に $ab\ne 0$ です。

クルルの交叉定理で $\bigcap {\mathfrak{m}}^n=0$ が保証されるので、$a$ と $b$ の次数が定まります。ここでネーター性が効いています。

正則なら一意分解整域である

さらに強い定理があります。正則局所環はいつでも一意分解整域です^[1]。

アウスランダーとブックスバウムによる定理で、証明はホモロジー代数を使います。素元分解の一意性という古典的な性質が、次元の一致から出てくる。

逆は成り立ちません。一意分解整域でも正則でない環はあります。

局所化しても正則のまま

もう 1 つ、扱いやすさに直結する性質があります。正則局所環の局所化は、また正則局所環です^[1]。

素朴な定義からは出てきません。素イデアルで局所化すると次元も埋め込み次元も動くので、一致が保たれる理由が見えないためです。

セールによるホモロジー的な特徴づけが鍵になります。局所環が正則であることと、大域次元が有限であることが同値になる^[1]。

大域次元の有限性は局所化で保たれるので、正則性も保たれます。定義を言い換えたことで初めて示せた定理です。

定義と特徴づけの一覧

ここまでに出た言い換えを並べます。

上の 2 つは同じことを幾何と代数で言い分けたものです。下の 2 つは別の道具を持ち込んでいて、そのぶん強い結論を運んでくる。

滑らかさとの関係

幾何の「滑らか」と正則は、いつでも同じではありません。体の性質が絡みます。

出典では、完全体の上でのみ両者が一致することが明示されています^[5]。標数 $p$ で完全でない体を扱うときは、どちらの言葉を使っているかを見分ける必要があります。

代数閉体の上で話しているかぎり、この違いは表に出ません。

練習

整域かどうかと正則かどうかは別の話です。整域であっても正則とは限りません。

よくある誤り

つまずきやすい点を並べます。

数える対象をとり違えないことが、いちばんの近道です。左辺は鎖の長さ、右辺はベクトル空間の次元。

参考文献