「滑らか」を環で表現する

代数幾何学では、多様体の「滑らかさ」を局所環の性質として捉えます。微分幾何学でいう滑らかな多様体に対応する概念を、純粋に代数的な言葉で定式化するのです。

滑らかさの直感

微分幾何学では、多様体が点 $P$ で滑らかとは、$P$ の近傍がユークリッド空間の開集合と同相で、座標変換が滑らか（無限回微分可能）であることを意味します。

代数幾何学では、座標変換の滑らかさの代わりに、局所環の代数的な性質で滑らかさを定義します。

代数的な滑らかさの条件

代数多様体 $X$ が点 $P$ で滑らかであるとは、$P$ における局所環 ${\mathcal{O}}_{X,P}$ が正則局所環であることです。

正則とは、極大イデアル $\mathfrak{m}$ の生成元の最小個数（これを埋め込み次元という）が、環の Krull 次元と一致することでした。つまり

$$\text{埋め込み次元}=\text{Krull 次元}$$

が成り立つとき、その点は滑らかです。

なぜこれが滑らかさを表すのか

$n$ 次元多様体の滑らかな点では、$n$ 個の局所座標が取れるはずです。これは極大イデアルがちょうど $n$ 個の元で生成できることに対応します。

ヤコビアン判定法との関係

具体的な多様体が点 $P$ で滑らかかどうかは、ヤコビアン判定法で調べられます。$X$ が $f_1=\cdots =f_r=0$ で定義されるとき、$P$ でのヤコビ行列のランクが $r$ に等しければ $P$ は滑らかです。

この判定法は、暗に「定義方程式から余分な生成元が出ない」ことを確認しています。ヤコビ行列が最大ランクなら、方程式の本数と次元の落ち方が一致し、局所環が正則になるのです。

滑らかさの帰結

滑らかな点の局所環は、多くのよい性質をもちます。正則局所環は整域であり、UFD（一意分解整域）であり、Cohen-Macaulay 環でもあります。これらの性質は、滑らかな点での計算を大幅に簡単にしてくれます。