特異点があると局所環はこう壊れる｜結節点と尖点で比べる

特異点では、局所環の極大イデアルが「太りすぎ」ます。

$1$ 次元の曲線なのに、極大イデアルを生成するのに 2 つの元が要る。この生成元の個数と次元のずれが、特異性の代数的な正体です。

以下では結節点と尖点という 2 つの特異点について、局所環を実際に書き下します。整閉包を計算し、完備化を比べ、両者がどこで分かれるかを見ていく。

滑らかな点の局所環は正則である

比較の基準を先に決めます。ネーター局所環 $(R,\mathfrak{m})$ が正則であるとは、次が成り立つことでした^[1]。

$$\dim R={\dim }_{R/\mathfrak{m}}\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$$

右辺は極大イデアルの生成元の最小個数で、埋め込み次元と呼ばれます。中山の補題から、$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ の基底を持ち上げれば $\mathfrak{m}$ の生成元が得られるためです。

左辺は Krull 次元です。曲線の点なら $1$、曲面の点なら $2$ になります。

滑らかな点では両辺が一致します。曲線の滑らかな点なら $1$ 次元の正則局所環、つまり離散付値環になる。

埋め込み次元は次元より小さくならない

ずれる向きは片方だけです。いつでも次の不等号が成り立ちます。

$$\dim R\le {\dim }_{R/\mathfrak{m}}\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$$

クルルの標高定理から従います。$\mathfrak{m}$ が $n$ 個の元で生成されるなら、$\mathfrak{m}$ の高さは $n$ 以下になるためです。

したがって特異点では、必ず埋め込み次元のほうが大きくなります。余分な生成元が要る状態、と言い換えられる。

幾何の言葉では、接空間が多様体自身より大きいということです。$1$ 次元の曲線の上に $2$ 次元の接空間がぶら下がっている。

例: 結節点の局所環

曲線 $y^2=x^2(x+1)$ の原点を調べます。座標環と局所環は次のとおりです。

$$A=k[x,y]/(y^2-x^2-x^3),\mathcal{O}=A_{\mathfrak{m}},\mathfrak{m}=(x,y)$$

次元は $1$ です。曲線が既約なので $A$ は $1$ 次元の整域で、局所化しても次元は落ちません。

埋め込み次元を計算しましょう。$\mathfrak{m}=(x,y)$、${\mathfrak{m}}^2=(x^2,xy,y^2)$ です。

定義式 $y^2=x^2+x^3$ の両辺は、どちらも ${\mathfrak{m}}^2$ に入っています。$1$ 次の項が現れないので、$x$ と $y$ のあいだに線形な関係は生まれない。

$${\dim }_k\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2=2$$

次元 $1$ に対して埋め込み次元 $2$。ずれているので、この局所環は正則ではありません。

証明: 極大イデアルは単項にならない

同じことを、単項性の側から確かめておきます。

$\mathfrak{m}=(f)$ と書けたとします。$x,y\in \mathfrak{m}$ なので $x=af$、$y=bf$ と書ける。

$f\in \mathfrak{m}$ なので $f=cx+dy+(2次以上)$ の形です。代入すると $x=a(cx+dy+\cdots )$ となります。

両辺の $1$ 次の項を比べると $1=a{c}_0$、$0=a{d}_0$ が出ます。ここで $a_0,c_0,d_0$ は定数項です。

$a_0{c}_0=1$ から $a_0\ne 0$ なので $d_0=0$ です。同じ議論を $y=bf$ に当てると $c_0=0$ が出て、$a_0{c}_0=1$ と矛盾します。

したがって $\mathfrak{m}$ は単項ではありません。$1$ 次元の局所整域であっても離散付値環にならない、という例になっています。

接空間が本体より大きい

数の上のずれを図にしておきます。

薄く引いた 2 本が、接錐を与える $y=x$ と $y=-x$ です。接線が 2 本あるので、それらが張る空間は平面の全体になります。

滑らかな点なら接線は 1 本で、接空間も直線 1 本です。曲線と同じ $1$ 次元でおさまる。

例: 尖点の局所環

尖点でも同じ計算をします。曲線は $y^2=x^3$、局所環は $k[x,y{]}_{(x,y)}/(y^2-x^3)$ です。

定義式の両辺は ${\mathfrak{m}}^2$ に入ります。$y^2$ は $2$ 次、$x^3$ は $3$ 次だからです。

やはり $1$ 次の関係が出ないので、埋め込み次元は $2$ になります。次元は $1$ なので正則ではありません。

結節点と尖点は、この計算では区別が付かない。どちらも「$1$ 次元なのに埋め込み次元が $2$」でそろっています。

尖点の局所環をパラメータで書き直す

区別を出すには、別の量が要ります。まず尖点の座標環を $1$ 変数で書き直しましょう。

$x=t^2$、$y=t^3$ とすると $y^2=t^6=x^3$ をみたします。この対応で次の同型が得られる。

$$k[x,y]/(y^2-x^3)\cong k[t^2,t^3]\subset k[t]$$

右辺は $k[t]$ のうち、$t$ の $1$ 次の項をもたない多項式の全体です。$1,t^2,t^3,t^4,\dots$ が基底になります。

$t$ だけが抜けている。この $1$ 次元ぶんの穴が、尖点の特異性そのものです。

整閉でないことが特異性の現れ

$k[t^2,t^3]$ の商体は $k(t)$ です。$t=t^3/t^2$ と書けるためです。

$t$ は $k[t^2,t^3]$ の元ではありませんが、$k[t^2,t^3]$ 上整です。$t^2\in k[t^2,t^3]$ なので、$T^2-t^2=0$ という monic な関係をみたします。

つまり商体の中に、整だが環に入らない元がある。$k[t^2,t^3]$ は整閉ではありません。

ここが分かれ目です。$1$ 次元のネーター局所整域では、整閉であることと離散付値環であることが同値になります^[5]。

したがって曲線の点については、次の 3 つが同じことになります。滑らか、正則、整閉。特異点とは整閉でない点のことです。

整閉包をとると何が起きるか

整閉でないなら、整閉包をとって直せばよい。この操作を正規化といいます。

尖点の場合、整閉包は $k[t]$ です。$k[t]$ は単項イデアル整域なので整閉で、$k[t^2,t^3]$ 上有限生成加群になります。

結節点の場合も計算できます。$y=tx$ と置くと $t^2=x+1$ となり、次の表示が出ます。

$$x=t^2-1,y=t^3-t$$

$t=y/x$ は商体の元で、$t^2-x-1=0$ をみたすので整です。整閉包はやはり $k[t]$ になります。

どちらも整閉包は $k[t]$、つまり滑らかな直線です。曲線としては同じものへ直る。

原点の上に何点あるか

違いは、原点の上に何点乗るかに出ます。正規化写像で原点へ行く $t$ を数えましょう。

$t=1$ と $t=-1$ が、どちらも原点へ送られます。原点の上には 2 点乗っている。

尖点では事情が違います。$x=t^2$、$y=t^3$ で原点へ行くのは $t=0$ だけなので、上に乗る点は 1 つです。

整閉包の形で分かれる

点の個数は、整閉包の局所的な形に現れます。

正規化が有限射になることは、一般の設定でも保証されています^[4]。ネーター性と被約性を仮定すれば、整閉包は元の環の上で有限加群です。

有限であるおかげで、原点の上の点は有限個に収まります。数えられる量になる、という点が大切です。

完備化すると違いが目に見える

局所環そのものは、どちらも整域です。曲線が既約だからで、この段階では違いが出ません。

完備化すると分かれます。結節点の完備局所環を書きましょう。標数が $2$ でなければ $1+x$ は $k[[x]]$ の中で平方根をもちます。

$$k[[x,y]]/(y^2-x^2(1+x))=k[[x,y]]/((y-xu)(y+xu))$$

$u^2=1+x$ をみたす $u\in k[[x]]$ がとれるので、定義式が 2 つの因子に分かれます。完備局所環は整域ではなくなる。

尖点では $y^2-x^3$ が $k[[x,y]]$ の中でも既約です。完備局所環は整域のままになります。

局所環では見えず、完備化すると見える。枝の本数はそういう量です。

重さを 1 つの数で測る

枝の本数だけでは足りません。両者を同じ土俵で比べるために、整閉包との差を測ります。

$\mathcal{O}$ を特異点の局所環、$\tilde{\mathcal{O}}$ をその整閉包として、次の商の長さを $\delta$ と書きます。

$$\delta ={\dim }_k\tilde{\mathcal{O}}/\mathcal{O}$$

尖点なら $\tilde{\mathcal{O}}=k[[t]]$、$\mathcal{O}=k[[t^2,t^3]]$ です。商は $t$ が張る $1$ 次元なので $\delta =1$。

結節点も $\delta =1$ になります。異なる型でありながら、重さは等しい。

この $\delta$ が、そのまま種数の落ち方になります^[3]。次数 $d$ の平面曲線なら、算術種数から $\delta$ の総和を引いたものが幾何種数です。

$y^2=x^5$ のような高次の尖点では $\delta =2$ になります。同じ尖点でも重さが違う。

一覧

ここまでの計算をまとめます。

上の 2 行では区別が付かず、下の 3 行で分かれます。同じ「特異」でも、どこまで下りるかで見える情報が変わる。

次元が上がると話が変わる

曲線では、特異であることと整閉でないことが一致していました。次元が $2$ 以上では一致しません。

正則なら整閉です。しかし逆は成り立たず、整閉でも特異な点があります。

錐 $xy=z^2$ の原点がその例です。この環は整閉ですが、埋め込み次元 $3$ に対して次元は $2$ なので正則ではありません。

正規化は余次元 $1$ の特異点しか消せないためです^[2]。曲線ではすべての特異点が余次元 $1$ なので、正規化だけで足りていました。

特異点の解消

高い次元では、ブローアップを繰り返す方法が要ります。標数 $0$ の体の上では、いつでも解消できることが知られています^[2]。

広中平祐が 1964 年に証明した定理です。任意の代数多様体 $V$ に対して、非特異な $W$ と固有な双有理写像 $W\to V$ が存在します。

正標数では未解決です。次元が $4$ 以上の場合は、いまも一般には分かっていません。$3$ 次元まではすべての標数で解決されています。

解消とは、局所環を正則局所環へ直す操作です。曲線での正規化は、その最も簡単な場合にあたります。

練習

尖点が反例になる点が要です。整域性だけでは特異性を測れません。

よくある誤り

まとめとして、つまずきやすい点を並べます。

区別のこつは、どの量で見ているかを言えるようにすることです。次元・埋め込み次元・整閉包・完備化と、段階を分けて確かめていく。

参考文献