例えば y=(3x2+2x+1)3 という関数は u=3x2+2x+1 とすると y=u3 となります。一見複雑な関数でも中身の一部を u と置き換えると簡単になる。このように関数を 2 つの関数の合成とみなすとき、この関数を合成関数といいます。
つまり
y=(3x2+2x+1)3
を
{y=u3u=3x2+2x+1
と分解するわけです。
合成関数の微分公式
dxdy=dudy⋅dxdu
この公式を使って y=(3x2+2x+1)3 を微分すると
dxdy=dudy⋅dxdu=u2⋅(6x+2)=(3x2+2x+1)2(6x+2)
となります。合成関数の微分公式を知っていれば (3x2+2x+1)3 を展開しなくても微分できるというわけです。
補足
合成関数の微分として特に
{f(ax+b)}′=af′(ax+b)
が成り立ちます。
三角関数、指数関数、対数関数などが入った関数の微分
上の公式を使っていろいろな関数を微分します。
y=e3x
u=2x とすると
dxdy=dudy⋅dxdu=eu⋅2=2e2x
y=log∣tanx∣
u=tanx とすると
dxdy=dudy⋅dxdu=u1⋅cos2x1=sinxcosx1
y=(logx)8
u=logx とすると
dxdy=dudy⋅dxdu=8u7⋅x1=x8(logx)7
特に最初の指数関数の微分は覚えるべき公式です。
(eax)′=aeax
