合成関数の微分のやり方（置きかえて外側と内側を掛ける）

$y=(3x^2+2x+1{)}^3$ を展開してから微分するのは骨が折れます。$u=3x^2+2x+1$ と置けば $y=u^3$ になり、見慣れた形に変わる。

$$y=u^3,u=3x^2+2x+1$$

このように $2$ つの関数をつないだものが合成関数です。$x$ から $u$ を作り、その $u$ から $y$ を作る、という二段構えの見方。

$x$ を動かすと $u$ がつられ、$u$ につられて $y$ が動きます。$x$ が右端に近いほど $u$ の動きは速く、$y$ はさらに速い。

変化率は掛け算でつながる

$x$ が少し動くと、$u$ は $\frac{du}{dx}$ 倍の速さで動きます。その $u$ の動きに対して $y$ は $\frac{dy}{du}$ 倍で動く。

二段を通した比は、$2$ つを掛けた値になります。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

これが合成関数の微分公式です^[1]。分数のように約分して見えるところが、この書き方の便利さ。

プライム記号なら次の形になります^[2]。外側を微分し、内側の微分を掛ける、という手順がそのまま式に出ている。

$$\{f(g(x)){\}}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

外側を微分するとき、内側は $1$ つのかたまりのまま残します。$g(x)$ をばらして代入し直すわけではない。

外側の微分に現れる $3x^2+2x+1$ は、そのまま残っています。掛け算の相手として $(6x+2)$ が付く形。

例：3 乗の形を展開せずに微分する

$y=(3x^2+2x+1{)}^3$ を計算します。$u=3x^2+2x+1$ とおくと $\frac{dy}{du}=3u^2$、$\frac{du}{dx}=6x+2$。

$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =3u^2(6x+2)\\ & =3(3x^2+2x+1{)}^2(6x+2)\end{array}$$

$6x+2=2(3x+1)$ なので、$6(3x+1)(3x^2+2x+1{)}^2$ とまとめられます。展開して $6$ 次式にする手間が、まるごと消えました。

例：$e^{3x}$ を微分する

$u=3x$ とおくと $y=e^u$ です。$\frac{dy}{du}=e^u$、$\frac{du}{dx}=3$。

$$\frac{dy}{dx}=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$$

指数の肩に付いた係数が、そのまま前へ出てきます。$(e^{ax}{)}^{\prime }=a{e}^{ax}$ は使う場面が多いので、形で覚えてしまうと速い。

例：$\log |\tan x|$ を微分する

$u=\tan x$ とおきます。$\frac{dy}{du}=\frac{1}{u}$、$\frac{du}{dx}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$。

$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{1}{\tan x}\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ & =\frac{\cos x}{\sin x}\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{\sin x\cos x}\end{array}$$

$\tan x$ を $\frac{\sin x}{\cos x}$ に戻すと約分が進みます。絶対値は微分では消えるので、$\log |u|$ でも $\frac{1}{u}$ のまま。

例：$(\log x{)}^8$ を微分する

対数が外側ではなく内側にある形です。$u=\log x$ とおくと $y=u^8$。

$$\frac{dy}{dx}=8(\log x{)}^7\cdot \frac{1}{x}=\frac{8(\log x{)}^7}{x}$$

$\log x^8$ と $(\log x{)}^8$ は別物です。前者は $8\log x$ なので、微分すると $\frac{8}{x}$ になる。

例：分母の 2 乗を微分する

$y=\frac{1}{(3x^2+1{)}^2}$ は $(3x^2+1{)}^{-2}$ と書き直せます^[1]。指数を負の数にすれば、商の公式を使わずに済む。

$$\frac{dy}{dx}=-2(3x^2+1{)}^{-3}\cdot 6x=-\frac{12x}{(3x^2+1{)}^3}$$

負の指数でもべきの公式はそのまま働きます。分数式では、この書き直しが近道になることが多い。

$f(ax+b)$ の形はすぐ書ける

内側が $1$ 次式のときは、内側の微分が定数 $a$ になります^[3]。合成関数の公式が、係数を前に出すだけの形に縮む。

$$\{f(ax+b){\}}^{\prime }=a{f}^{\prime }(ax+b)$$

$\sin (2x)$ なら $2\cos (2x)$、$\log (5x-1)$ なら $\frac{5}{5x-1}$、$(4x+3{)}^7$ なら $28(4x+3{)}^6$ です。

$1$ 次式は数学Ⅲの計算で繰り返し現れます。ここだけは反射で書けるようにしておくと、時間の節約になる。

3 つ以上の合成

段が増えても考え方は変わりません。外から順に微分し、次の段の微分を掛けていくだけです^[1]。

$$\{f(g(h(x))){\}}^{\prime }=f^{\prime }(g(h(x)))\cdot g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$$

ライプニッツの記号なら $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dv}\cdot \frac{dv}{dx}$ という連なりです。約分の見立てが、そのまま段数ぶん伸びる。

例：3 段重ねを分解する

$y={\cos }^4(7x^2+1)$ を微分します。いちばん外が $4$ 乗、次が余弦、いちばん内が $2$ 次式。

$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =4{\cos }^3(7x^2+1)\cdot \{-\sin (7x^2+1)\}\cdot 14x\\ & =-56x{\cos }^3(7x^2+1)\sin (7x^2+1)\end{array}$$

余弦の微分で出る負号を落とすと、符号がまるごと反対になります。段ごとに書き出してから掛け合わせると、抜けに気づきやすい。

なぜ掛け算になるのか

差の商を $2$ 段に分けて眺めると、掛け算になる理由が見えます。$\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x)$ とおきます。

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$$

有限の差では、この式はただの約分です。$\Delta x\to 0$ のとき $\Delta u\to 0$ となるので、右辺は $\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$ に近づく。

$\Delta u$ が $0$ になる場合の扱いだけ、別に手当てが要ります。差の商を連続な補助関数に置き換えると、その場合も込めて証明できる^[2]。

つまずきやすいところ

置きかえを紙に書き出す手間は、慣れるまでのあいだだけです。段の構造さえ見えていれば、頭の中で掛け合わせても間違えません。

参考文献