高校数学Ⅲ　合成関数の微分

例えば $y=(3x^2+2x+1{)}^3$ という関数は $u=3x^2+2x+1$ とすると $y=u^3$ となります。一見複雑な関数でも中身の一部を $u$ と置き換えると簡単になる。このように関数を $2$ つの関数の合成とみなすとき、この関数を合成関数といいます。

つまり

$$y=(3x^2+2x+1{)}^3$$

を

$$\{\begin{array}{l}y=u^3\\ u=3x^2+2x+1\end{array}$$

と分解するわけです。

合成関数の微分公式

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

この公式を使って $y=(3x^2+2x+1{)}^3$ を微分すると

$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\ & =u^2\cdot (6x+2)\\ & =(3x^2+2x+1{)}^2(6x+2)\end{array}$$

となります。合成関数の微分公式を知っていれば $(3x^2+2x+1{)}^3$ を展開しなくても微分できるというわけです。

補足

合成関数の微分として特に

$$\{f(ax+b){\}}^{\prime }=a{f}^{\prime }(ax+b)$$

が成り立ちます。

三角関数、指数関数、対数関数などが入った関数の微分

上の公式を使っていろいろな関数を微分します。

$y=e^{3x}$

$u=2x$ とすると

$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\ & =e^u\cdot 2\\ & =2e^{2x}\end{array}$$

$y=\log |\tan x|$

$u=\tan x$ とすると

$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\ & =\frac{1}{u}\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ & =\frac{1}{\sin x\cos x}\end{array}$$

$y=(\log x{)}^8$

$u=\log x$ とすると

$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\ & =8u^7\cdot \frac{1}{x}\\ & =\frac{8(\log x{)}^7}{x}\end{array}$$

特に最初の指数関数の微分は覚えるべき公式です。

$$(e^{ax}{)}^{\prime }=a{e}^{ax}$$