微分係数はなにを測っているのか？高校数学Ⅲの導関数の入口

$x$ を少し動かしたとき、 $y$ はどれだけ動くか。その比を細かい極限まで詰めた値が微分係数です。

$f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

分子が $y$ の変化、分母が $x$ の変化。割り算の形なので、 $x$ が $1$ 進むあたりの変化量を表します。

$h$ を $0$ へ近づけると、 $2$ 点を結ぶ直線が $1$ 点で触れる直線に変わる。微分係数が接線の傾きと呼ばれるのは、この移り変わりのためです。

間隔を縮めるほど、直線の傾きが一つの値に落ち着きます。落ち着いた先が $f^{'} (a)$ で、この図では $a = 1.2$ なので $2.4$ に寄っていく。

平均変化率と瞬間の変化率

$a$ から $a + h$ までの平均変化率は、区間をならした値です。区間の途中で速くなっても遅くなっても、その差は表に出ません。

微分係数は $h$ を $0$ へ送った先なので、区間ではなく点の情報になる。車でいえば、平均の速さと速度計の針の違いです。

区間の幅がゼロでは割り算ができないので、極限という手続きが要ります。近づけた先の値を読む、という言い方が正確なところ。

例：定義から $x^{2}$ を微分する

公式を使わず、定義だけで計算してみます。 $f (x) = x^{2}$ とおくと、分子は次のように展開できる。

$(x + h)^{2} - x^{2} = 2 x h + h^{2}$

$h$ で割ると $2 x + h$ が残ります。 $h \to 0$ とすれば $f^{'} (x) = 2 x$ が得られる。

分子で $x^{2}$ が消えるところが要点です。消えなければ $h$ で割った瞬間に発散してしまう。

例：定義から $\frac{1}{x}$ を微分する

分数でも手順は変わりません。まず通分し、それから $h$ で割ります。

$\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x} = \frac{x - ( x + h )}{x ( x + h )} = \frac{- h}{x ( x + h )}$

$h$ で割ると $- \frac{1}{x ( x + h )}$ となり、 $h \to 0$ で $- \frac{1}{x ^{2}}$ に落ち着きます。

$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ は $(x^{- 1})^{'} = - x^{- 2}$ とも書ける。指数の公式が負の数まで通用することが、ここで確かめられました。

導関数は数ではなく関数

各点の微分係数を求め、 $a$ を $x$ に書き直したものが導関数です。値ではなく関数が返ってくるところが、微分係数との違い。

$f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$

グラフでいうと、接線の傾きを縦軸にとり直した新しいグラフができあがります。

上の放物線に $4$ 本の接線を引き、その傾きを下の直線へ写しました。 $x = - 1.5$ での傾き $- 3$ が、下では点 $(- 1.5, - 3)$ にあたります。

傾きだけを集めると直線が現れる。これが $(x^{2})^{'} = 2 x$ の意味です。

例：接線の方程式を作る

$y = x^{2}$ の $x = 2$ における接線を求めます。傾きは $f^{'} (2) = 4$ 、通る点は $(2, 4)$ 。

$y - 4 = 4 (x - 2), y = 4 x - 4$

通る点と傾きの $2$ つで直線は決まります。増減や最大最小の問題も、出発点はここ。

数学Ⅱから数学Ⅲへ広がる関数

数学Ⅱで微分したのは多項式だけでした。数学Ⅲでは三角関数、指数関数、対数関数、分数関数、無理関数が加わる。

扱う関数が増えるぶん、公式も増えます。とはいえ土台は定義の式ひとつで、どの公式もそこから導かれる^[1]。

べき関数は

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

。

n

が負の数や分数でも成り立ちます。

三角関数は

(sin x)^{'} = cos x

、

(cos x)^{'} = - sin x

。

正接は

(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}

。

指数関数は

(e^{x})^{'} = e^{x}

、

(a^{x})^{'} = a^{x} lo g a

。

対数関数は

(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}

、

(lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x lo g a}

。

角の単位は弧度法です。度数法のままだと $(sin x)^{'} = cos x$ が崩れ、余計な定数が付いてしまう。

公式を組み立てる 4 つの規則

個々の関数の公式に次の規則を重ねると、守備範囲が一気に広がります。

定数倍と和は分けて計算できます。

{a f (x) + b g (x)}^{'} = a f^{'} (x) + b g^{'} (x)

。

積は

{f (x) g (x)}^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)

。

商は

{\frac{f ( x )}{g ( x )}}^{'} = \frac{f ^{'} ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ^{'} ( x )}{{ g ( x ) } ^{2}}

。

合成は

{f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

。

積の公式を $f^{'} g^{'}$ としないところが落とし穴です^[2]。片方だけ微分した項を $2$ つ作り、それを足す形になる。

例：規則を組み合わせる

$y = x^{3} e^{x}$ なら積の規則です。 $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ と $(e^{x})^{'} = e^{x}$ を当てはめます。

$y^{'} = 3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} = x^{2} e^{x} (3 + x)$

$y = sin (2 x + 1)$ なら合成の規則になる^[3]。内側 $2 x + 1$ の微分である $2$ を掛けます。

$y^{'} = 2 cos (2 x + 1)$

共通因数でくくる癖をつけると、あとで増減表を書くときに楽になります。

$y = \frac{x ^{2} + 1}{x}$ の導関数はどれか。

$y^{'} = 2 x$
$y^{'} = 1 - \frac{1}{x ^{2}}$
$y^{'} = \frac{2 x - 1}{x ^{2}}$

__RESULT__

分数のまま商の公式を当ててもよいのですが、 $y = x + \frac{1}{x}$ と分けるほうが早い。 $(x)^{'} = 1$ と $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ を足せば $1 - \frac{1}{x ^{2}}$ になります。

微分できない点もある

すべての関数が、すべての点で微分できるわけではありません。 $f (x) = ∣ x ∣$ の原点がその例です。

右から近づくと差の商は $1$ 、左から近づくと $- 1$ 。近づく向きで値が変わるので、極限が存在しません。

グラフに角があると微分できない。接線が $1$ 本に決まらないためです。

微分できる点では、グラフはなめらかにつながります。逆向きの主張は成り立たず、連続でも微分できるとは限らない。

$x = 0$ で微分できない関数はどれか。

$f (x) = x^{2}$
$f (x) = ∣ x ∣$
$f (x) = sin x$

__RESULT__

$∣ x ∣$ は原点で右側の傾きが $1$ 、左側が $- 1$ になり、極限が $1$ つに決まりません。 $x^{2}$ と $sin x$ は原点でなめらかにつながり、傾きはそれぞれ $0$ と $1$ です。

微分係数の読み方をそろえる

同じ $f^{'} (a)$ でも、場面によって呼び名が変わります。どちらの読み方も、指しているものは同じ値です。

グラフとして読む

点 $(a, f (a))$ における接線の傾き。符号と大きさが図から読める

変化として読む

$x$ が $1$ 増えるあたりの $y$ の増え方。速度や密度のような量に対応する

物理では、位置を時刻で微分すると速度、速度をもう一度微分すると加速度になります。数学Ⅲの微分は、こうした量を扱うための道具でもある。

参考文献

Dérivées usuelles - Wikipédia（フランス語）

Produktregel - Wikipedia（ドイツ語）

The Chain Rule - Calculus Volume 1, OpenStax

平均変化率の $h$ を $0$ へ近づけると、2 点を結ぶ直線が接線に変わります。その落ち着き先が微分係数で、各点の値を集め直したものが導関数。定義だけで $x^2$ と $1/x$ を微分し、接線の方程式まで作る。数学Ⅲで加わる三角関数、指数関数、対数関数の公式と、和や積、商、合成を組み立てる規則も一覧にしました。原点に角がある $|x|$ が、微分できない例になります。