磁石を近づけるとコイルはなぜいやがるのか？ファラデーとレンツの法則

コイルに磁石を近づけると電流が流れます。止めると流れません。遠ざけると、逆向きに流れる。

流れるかどうかを決めているのは磁場の強さではなく、磁束の変化の速さです^[1]。

$$\epsilon =-N\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}$$

$N$ は巻数、$\Phi$ が磁束です。マイナス符号がレンツの法則にあたり、向きを決めています。

磁束は「何本つらぬくか」

磁束は、コイルの面を通り抜ける磁力線の量です。面積 $S$ の面を磁束密度 $B$ が垂直につらぬくなら、次の形になります。

$$\Phi =BS\cos \theta$$

$\theta$ は面に立てた垂線と磁場のなす角。単位はウェーバ（Wb）で、$1\mathrm{Wb}=1\mathrm{T}\cdot {\mathrm{m}}^2$ です^[1]。

この式には 3 つの量が入っています。$B$、$S$、$\theta$ のどれが変わっても磁束は変わる。だから起電力を生む方法も 3 通りあります。

止まっている磁石のそばにコイルを置いても、何も起きません。強い磁場のなかに静かに置いてあるだけでは起電力は $0$。変化だけが効きます。

マイナス符号がレンツの法則

誘導電流は、磁束の変化をさまたげる向きに流れます^[2][3]。

磁束が増えているなら、それを減らす向きの磁場をつくる。減っているなら、増やす向きの磁場をつくります。近づければ押し返し、遠ざければ引き止める。

向きを出す手順は決まっています。

4 段目で使うのは、コイルの右手の当て方です。4 本の指が電流、親指が内側の磁場になります。

さまたげないと、エネルギーが湧く

レンツの法則は、覚えるための決まりごとではありません。エネルギー保存から出てきます^[2]。

もし誘導電流が磁石を引きこむ向きに流れたら、磁石は勝手に加速しながら電流も生む。押しても引いてもエネルギーが増える装置になってしまいます。

実際には逆向きです。磁石を動かすには手が仕事をする必要があり、その仕事が電流のエネルギーになる。手を止めれば電流も止まります。

例 1：磁場が弱まる

面積 $0.020{\mathrm{m}}^2$ の 1 巻きコイルを、磁場に垂直に置きます。$B$ が $0.50\mathrm{T}$ から $0.10\mathrm{T}$ へ $0.20\mathrm{s}$ で変わりました。

$$\Delta \Phi =(0.10-0.50)\times 0.020=-8.0\times 10^{-3}\mathrm{Wb}$$

$$|\epsilon |=\frac{8.0\times 10^{-3}}{0.20}=4.0\times 10^{-2}\mathrm{V}$$

$40\mathrm{mV}$ です。磁束が減っているので、誘導電流はそれを補う向きに流れます。

例 2：巻数を増やす

1 辺 $0.25\mathrm{m}$ の正方形コイルを $200$ 回巻き、抵抗を $5.0\Omega$ とします。磁場は面に垂直で、$0.040T/s$ の割合で弱まっています^[1]。

$$|\epsilon |=NS\frac{\Delta B}{\Delta t}=200\times (0.25{)}^2\times 0.040=0.50\mathrm{V}$$

電流は $I=0.50/5.0=0.10\mathrm{A}$。巻数がそのまま掛かるので、$200$ 回巻けば $200$ 倍になります。

例 3：コイルを回す

面積 $0.010{\mathrm{m}}^2$ のコイルを $B=0.20\mathrm{T}$ のなかに置き、面が磁場に垂直な状態から平行になるまで $0.50\mathrm{s}$ で回します。

はじめの磁束は $0.20\times 0.010=2.0\times 10^{-3}\mathrm{Wb}$、終わりは $0$。

$$|\epsilon |=\frac{2.0\times 10^{-3}}{0.50}=4.0\times 10^{-3}\mathrm{V}$$

磁場も面積も変えずに起電力が出ました。角度だけで足ります。

例 4：面積が縮む

$B=0.30\mathrm{T}$ のなかで、コイルの面積が $0.040{\mathrm{m}}^2$ から $0.010{\mathrm{m}}^2$ へ $0.10\mathrm{s}$ で縮みます。

$$|\epsilon |=\frac{0.30\times (0.040-0.010)}{0.10}=9.0\times 10^{-2}\mathrm{V}$$

$90\mathrm{mV}$。$B$、$S$、$\theta$ のどれで変化をつくっても、式の使い方は変わりません。

例 5：斜めにつらぬく

$B=0.40\mathrm{T}$、面積 $0.050{\mathrm{m}}^2$、垂線と磁場のなす角が $60^{\circ }$ のときの磁束を出します。

$$\Phi =0.40\times 0.050\times \cos 60^{\circ }=1.0\times 10^{-2}\mathrm{Wb}$$

垂直に置いたときの半分です。$\cos 90^{\circ }=0$ なので、面を磁場と平行にすると磁束は $0$ になります。

例 6：止めてみる

例 2 のコイルを、$B=2.0\mathrm{T}$ という強い磁場のなかに静かに置きます。起電力はいくつでしょうか。

$0$ です。磁束は大きくても、変わらなければ何も起きません。強さではなく変化が効く、という点がこの法則の中心にあります。

押さえどころ

計算するときは大きさだけを $|\epsilon |=N|\Delta \Phi |/\Delta t$ で出し、向きはレンツの法則で別に決めます。符号を式に任せると、図の向きと合わせるところで混乱しがちです。

変化の速さが効くので、同じ磁石でも速く動かすほど大きな起電力になります。ゆっくり動かせば、時間をかけて同じ磁束の変化を配ることになり、起電力は小さくなる。

参考文献