計器をつないだ瞬間に回路は変わる〜電流計と電圧計、分流器と倍率器

電流計は回路に直列、電圧計は並列につなぎます^[1]。この違いは、測りたい量が違うところから来ています。

電流は道を通り抜ける量なので、計器も道の途中に入れる。電圧は 2 点の差なので、その 2 点をまたぐようにつなぎます。

つないだ計器は、回路の一部になります。理想の計器ならじゃまをしませんが、現実には内部抵抗があるので、測る前と後で回路が変わる。

内部抵抗の向きが逆

電流計は道の途中に入るので、抵抗が大きいと電流をさまたげます。だから内部抵抗は小さいほどよい^[2]。

電圧計は枝を 1 本増やすことになるので、抵抗が小さいと余分な電流が流れます。だから内部抵抗は大きいほどよい。

理想は電流計が $0\Omega$、電圧計が無限大です^[2]。

測る前と後で変わってしまう

電圧計をつなぐと、そこに枝が 1 本増えます。合成抵抗が下がるので、そこにかかる電圧も下がる。

測ろうとした値そのものを、測る行為が変えてしまいます。内部抵抗が回路の抵抗にくらべて十分大きければ、この変化は小さくて済む^[2]。

高い抵抗を測るときほど、この影響が出ます。$1\mathrm{M\Omega }$ の抵抗にかかる電圧を $100\mathrm{k\Omega }$ の電圧計で測ると、読みは大きく狂う。

分流器で測れる範囲を広げる

計器そのものが流せる電流には限りがあります。大きな電流を測るには、わき道をつくって大部分をそちらへ逃がす^[1]。

このわき道の抵抗を分流器、またはシャントと呼びます。計器の内部抵抗を $r$、測れる範囲を $n$ 倍にしたいとき、必要な値は次のとおり。

$$R_{\text{分流}}=\frac{r}{n-1}$$

導き方は並列の分流です。計器へ $1$、分流器へ $n-1$ の割合で分ければよいので、抵抗の比を逆にとります。

倍率器で電圧の範囲を広げる

電圧計では逆に、直列に抵抗をつなぎます^[3]。かかる電圧を分け合い、計器には一部だけを掛ける。

$$R_{\text{倍率}}=(n-1)r$$

こちらは分圧です。計器に $1$、倍率器に $n-1$ の割合で分けるので、抵抗も同じ比にします。

例 1：電流計の影響

起電力 $10\mathrm{V}$、外部抵抗 $100\Omega$ の回路に、内部抵抗 $1.0\Omega$ の電流計を入れます。

$$I=\frac{10}{100+1.0}=9.90\times 10^{-2}\mathrm{A}$$

計器を入れなければ $0.100\mathrm{A}$ です。$1$ パーセントほど小さく出ました。内部抵抗が回路の $1$ パーセントなので、ずれも $1$ パーセント。

例 2：電圧計の影響

$100\mathrm{k\Omega }$ を 2 本直列にし、$10\mathrm{V}$ を掛けます。片方にかかる電圧は本来 $5.0\mathrm{V}$。

ここへ内部抵抗 $100\mathrm{k\Omega }$ の電圧計をつなぎます。並列部分は $50\mathrm{k\Omega }$ になる。

$$V=10\times \frac{50}{50+100}=3.3\mathrm{V}$$

$5.0\mathrm{V}$ のはずが $3.3\mathrm{V}$ と出ました。高い抵抗を測るときは、計器の内部抵抗を確かめることになります。

例 3：分流器を設計する

最大 $1.0\mathrm{mA}$、内部抵抗 $5.0\Omega$ の計器で $100\mathrm{mA}$ まで測ります。倍率は $n=100$。

$$R_{\text{分流}}=\frac{5.0}{100-1}=5.1\times 10^{-2}\Omega$$

$0.051\Omega$。計器へ $1.0\mathrm{mA}$、分流器へ $99\mathrm{mA}$ が流れます。

例 4：実際の計器で確かめる

$100\mu \mathrm{A}$ でフルスケール、内部抵抗 $1000\Omega$ の計器を $1.0\mathrm{A}$ まで広げます^[3]。

フルスケールのときの計器の電圧は $100\times 10^{-6}\times 1000=0.10\mathrm{V}$。分流器には $1.0-0.0001=0.9999\mathrm{A}$ が流れます。

$$R_{\text{分流}}=\frac{0.10}{0.9999}=0.10\Omega$$

$0.1\Omega$ です^[3]。倍率の式でも $1000/(10000-1)=0.10\Omega$ となり、一致します。

例 5：倍率器を設計する

例 4 の計器を電圧計にして、$10\mathrm{V}$ まで測れるようにします^[4]。

フルスケールに要る全体の抵抗は $10/(100\times 10^{-6})=1.0\times 10^5\Omega$。

$$R_{\text{倍率}}=1.0\times 10^5-1000=9.9\times 10^4\Omega$$

$99\mathrm{k\Omega }$ を直列に入れます^[4]。もとの計器だけなら $0.10\mathrm{V}$ でフルスケールだったので、100 倍に広がりました。

例 6：逆につないでしまうと

電流計をうっかり電源に並列でつなぐと、内部抵抗がほとんど $0$ なので短絡になります。大電流が流れて計器が焼ける。

電圧計を直列につないだ場合は、内部抵抗が大きいのでほとんど電流が流れません。回路が動かなくなるだけで、計器は無事です。

危ないのは電流計のほうだ、と覚えておくことになります。

押さえどころ

分流器と倍率器の式は、どちらも分流と分圧そのものです。覚え直さずに、その場で組み立てられます。

$n$ 倍に広げるなら、計器に $1$、外につないだ抵抗に $n-1$ の割合で分ける。並列なら抵抗の比を逆に、直列ならそのままにとる。ここだけです。

参考文献