巻数の比がそのまま電圧の比になる（相互誘導と変圧器）

2 つのコイルを並べ、片方の電流を変えると、もう片方に起電力が生まれます^[1]。

$${\epsilon }_2=-M\frac{\Delta I_1}{\Delta t}$$

$M$ は相互インダクタンスで、単位は自己誘導と同じヘンリー。2 つのコイルの形と位置関係だけで決まります。

おもしろいのは、$M$ が向きによらない点です。1 から 2 へ効かせても、2 から 1 へ効かせても同じ値になります^[1]。

鉄心が磁束を運ぶ

コイルを離して置くと、磁束の多くは空中へ逃げます。$M$ は小さい。

鉄心を通して 2 つを結ぶと、磁束が鉄のなかを回って全部が二次側へ届きます。逃げるぶんが減り、$M$ が大きくなる。

変圧器はこの形です。一次コイルの電流が変わると鉄心の磁束が変わり、その変化が二次コイルへそのまま伝わります^[2]。

電圧は巻数の比になる

鉄心のなかの磁束 $\Phi$ は、一次側と二次側で共通です。それぞれのコイルに現れる電圧は、巻数を掛けた形になります。

$$\begin{array}{rl}{V}_1& =N_1\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}\\ V_2& =N_2\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}\end{array}$$

割り算をすると $\Delta \Phi /\Delta t$ が消えます^[2][3]。

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{N_1}{N_2}$$

巻数の比がそのまま電圧の比。二次側を多く巻けば電圧が上がり、少なく巻けば下がります。

電流は逆比になる

損失のない理想的な変圧器では、入る電力と出る電力が等しくなります^[3]。

$$V_1{I}_1=V_2{I}_2$$

電圧の比が $N_1:N_2$ なので、電流の比は逆になる。

$$\frac{I_1}{I_2}=\frac{N_2}{N_1}$$

電圧を 10 倍にすれば電流は 10 分の 1。変圧器は電力を増やす装置ではなく、電圧と電流の配分を変える装置です。

送電に高い電圧を使う理由

送電線で失われる電力は $I^{2}R$ です。電圧ではなく電流の 2 乗で効きます。

同じ電力を送るなら、電圧を上げれば電流が下がる。電流が 10 分の 1 になれば、損失は 100 分の 1 になります。

発電所で昇圧し、町の手前で降圧する。変圧器がなければ、この使い分けができません。

例 1：相互インダクタンスから出す

$M=2.53\times 10^{-5}\mathrm{H}$ の組み合わせで、一次側の電流が毎秒 $200\mathrm{A}$ の割合で変わります^[1]。

$$|{\epsilon }_2|=2.53\times 10^{-5}\times 200=5.06\times 10^{-3}\mathrm{V}$$

$5.1\mathrm{mV}$。空芯のコイルを重ねただけでは、この程度にとどまります。

例 2：降圧する

一次 $1000$ 巻き、二次 $100$ 巻きの変圧器に $230\mathrm{V}$ を掛けます^[3]。

$$V_2=230\times \frac{100}{1000}=23\mathrm{V}$$

10 分の 1 に下がりました。二次側の電流は、同じ電力なら 10 倍まで流せます。

例 3：巻数の比を読む

一次 $600$ 巻き、二次 $50$ 巻きに $240\mathrm{V}$ を掛けた場合^[2]。

$$V_2=240\times \frac{50}{600}=20\mathrm{V}$$

比が $1:12$ なので電圧も $12$ 分の 1。巻数さえ分かれば、電圧は割り算だけで出ます。

例 4：電流を出す

一次側 $100\mathrm{V}$、$10\mathrm{A}$ の変圧器で、二次側を $250\mathrm{V}$ にします。

入る電力は $100\times 10=1000\mathrm{W}$。理想変圧器なら出る電力も同じです。

$$I_2=\frac{1000}{250}=4.0\mathrm{A}$$

電圧が $2.5$ 倍、電流が $1/2.5$ 倍。掛けると $1$ に戻ります。

例 5：送電損失を比べる

$10\mathrm{kW}$ を、往復で $2.0\Omega$ の送電線で送ります。まず $200\mathrm{V}$ の場合。

$$I=\frac{10000}{200}=50\mathrm{A},P_{\text{損失}}=50^2\times 2.0=5.0\times 10^3\mathrm{W}$$

送りたい電力の半分が線で消えます。つぎに $20000\mathrm{V}$ へ昇圧した場合。

$$I=0.50\mathrm{A},P_{\text{損失}}=(0.50{)}^2\times 2.0=0.50\mathrm{W}$$

$0.5\mathrm{W}$ まで落ちました。1 万分の 1 です。

例 6：直流をつなぐ

例 2 の変圧器に、交流ではなく $230\mathrm{V}$ の直流をつなぎます。二次側の電圧はどうなるでしょうか。

つないだ瞬間だけ電圧が出て、すぐ $0$ になります。電流が一定値に落ち着けば磁束も一定になり、変化がなくなるためです。

しかも一次コイルには抵抗しか残らないので、大きな電流が流れて焼けます。変圧器に直流を掛けてはいけない、という注意の中身はここにあります。

まとめて並べる

変圧器で覚えることは、巻数の比が電圧の比になる、という 1 行だけです。電流は電力保存から出てきます。

比を書くときに、どちらが分子かで迷ったら電力に戻る。$V_1{I}_1=V_2{I}_2$ から、増えたほうと減ったほうが必ず対になります。

参考文献