同じ電流でも熱くなる場所とならない場所（電力とジュール熱、電力量）

抵抗で消費される電力は 3 通りに書けます^[1]。

$P = I V = I^{2} R = \frac{V ^{2}}{R}$

$V = I R$ を代入して行き来しているだけなので、値はどれも同じ。ところが、どれを使うかで見え方が変わります。

$I^{2} R$ を見ると、抵抗が大きいほど熱くなりそうです。 $V^{2} / R$ を見ると、抵抗が小さいほど熱くなりそうに見える。矛盾しているようで、どちらも正しい。

何が共通かで決まる

直列につないだ抵抗には、同じ電流が流れます。共通なのは $I$ なので、 $P = I^{2} R$ で比べる。抵抗の大きいほうが熱くなります。

並列につないだ抵抗には、同じ電圧が掛かります。共通なのは $V$ なので、 $P = V^{2} / R$ で比べる。抵抗の小さいほうが熱くなります。

つなぎ方で答えが逆になる、というところが要点です。

直列

電流が共通。 $P = I^{2} R$ で比べる。抵抗が大きいほど熱い

並列

電圧が共通。 $P = V^{2} / R$ で比べる。抵抗が小さいほど熱い

熱に変わる量

電力は 1 秒あたりのエネルギーです。時間を掛けると、出た熱の総量になります。

$Q = I^{2} R t$

ジュール熱と呼びます。単位はジュール。抵抗のなかで電子が原子にぶつかり、運動のエネルギーを原子へ渡した結果です。

電熱器やトースターは、これを目的にした道具。いっぽう配線やモーターでは、同じ熱がただの損失になります。

電力量はキロワット時で数える

電気料金の単位はキロワット時（ $kW \cdot h$ ）です^[1]。

$1 kW \cdot h = 3.6 \times 1 0^{6} J$

$1 kW$ を 1 時間使ったときのエネルギー。ジュールで書くと桁が大きすぎるので、生活の場面ではこちらを使います。

$1 kW \cdot h$ は、 $60 kg$ の人を $6 km$ 持ち上げるぶんのエネルギーにあたります。

$m g h = 60 \times 9.8 \times 6000 = 3.5 \times 1 0^{6}$ ジュール。数十円で買える量が、それだけの仕事に相当する。

例 1：電球を調べる

$100 V$ で $100 W$ の電球です。

$I = \frac{P}{V} = \frac{100}{100} = 1.0 A, R = \frac{V ^{2}}{P} = \frac{10 0 ^{2}}{100} = 1.0 \times 1 0^{2} Ω$

$1.0 A$ と $100 Ω$ 。3 つの式は、どの 2 つが分かっているかで選び分けます。

例 2：直列でくらべる

$3.0 Ω$ と $5.0 Ω$ を直列にし、 $2.0 A$ を流します。

$P_{1} = (2.0)^{2} \times 3.0 = 12 W, P_{2} = (2.0)^{2} \times 5.0 = 20 W$

大きい抵抗のほうがよけいに熱くなりました。電流が同じなので、 $I^{2} R$ の $R$ がそのまま効きます。

例 3：並列でくらべる

$3.0 Ω$ と $6.0 Ω$ を並列にし、 $12 V$ を掛けます。

$P_{1} = \frac{1 2 ^{2}}{3.0} = 48 W, P_{2} = \frac{1 2 ^{2}}{6.0} = 24 W$

こんどは小さい抵抗のほうが熱い。例 2 と逆になりました。抵抗の大小だけでは決まらない、という例です。

例 4：発熱量を出す

例 3 の $3.0 Ω$ を $5.0$ 分つないだままにします。

$Q = P t = 48 \times (5.0 \times 60) = 1.4 \times 1 0^{4} J$

$14 kJ$ 。水 $100 g$ を $34$ 度ほど温められる量です。

例 5：電球をとりかえる

$100 W$ の白熱電球を $20 W$ の LED に替えます。1 日 3 時間、1 年間使った場合を比べます^[1]。

$100 W \times 3 h \times 365 = 109.5 kW \cdot h$

$20 W \times 3 h \times 365 = 21.9 kW \cdot h$

差は $87.6 kW \cdot h$ 。 $1 kW \cdot h$ が 30 円なら、年に 2600 円ほど変わります。

例 6：送電線の熱

$100 A$ が流れる送電線の抵抗が $0.50 Ω$ だとします。

$P = (100)^{2} \times 0.50 = 5.0 \times 1 0^{3} W$

$5 kW$ が線で熱になっています。電圧を上げて電流を下げれば、この損失は 2 乗で減る。送電に高電圧を使う理由がここにあります。

$2 Ω$ と $8 Ω$ の抵抗を並列につなぎました。よけいに熱くなるのはどちらですか。

$8 Ω$ のほう
$2 Ω$ のほう
どちらも同じ

__RESULT__

並列では電圧が共通なので $P = V^{2} / R$ で比べます。 $R$ が分母にあるので、小さい $2 Ω$ のほうが 4 倍熱くなる。直列につないだ場合は逆で、 $P = I^{2} R$ から $8 Ω$ のほうが熱くなります。

押さえどころ

電力は

P = I V = I^{2} R = V^{2} / R

。値はどれも同じ。

比べるときは、共通な量を含む式を選ぶ。

直列は電流が共通なので

I^{2} R

。抵抗が大きいほど熱い。

並列は電圧が共通なので

V^{2} / R

。抵抗が小さいほど熱い。

ジュール熱は

Q = I^{2} R t

。電力量は

1 kW \cdot h = 3.6 \times 1 0^{6} J

。

「抵抗が大きいほど熱くなる」という覚え方は、半分だけ正しい。直列につながっている場面でしか通りません。

問題を読んだら、まず何が共通かを探します。そこが決まれば、使う式も答えの向きも自動的に決まる。

参考文献

9.6: Electrical Energy and Power/University_Physics_II_-_Thermodynamics_Electricity_and_Magnetism_(OpenStax)/09:_Current_and_Resistance/9.06:_Electrical_Energy_and_Power). Physics LibreTexts, OpenStax University Physics Volume 2.

Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen. Grundwissen Elektronik（ドイツ語）.

Étude des réseaux électriques en régime continu. Femto-Physique（フランス語）.

$P=IV=I^2R=V^2/R$ は同じ値ですが、$I^2R$ は抵抗が大きいほど熱く、$V^2/R$ は小さいほど熱く見えます。矛盾ではありません。決めているのは、その回路で何が共通かです。直列は電流が共通なので $I^2R$ で比べ、大きい抵抗が熱くなる。並列は電圧が共通なので $V^2/R$ で比べ、小さい抵抗が熱くなります。「抵抗が大きいほど熱い」という覚え方は半分だけ正しい。ジュール熱 $Q=I^2Rt$、電力量のキロワット時、送電線の損失が電流の 2 乗で効く話まで並べました。