スイッチを切った瞬間に火花が出る〜自己誘導とコイルのエネルギー

コイルにつないだスイッチを切ると、接点で火花が飛びます。電源を切ったのに、電圧が上がっているためです。

原因は自己誘導です。コイル自身に流れる電流が変わると、その変化をさまたげる向きの起電力がコイル自身に生まれます^[1][2]。

$$\epsilon =-L\frac{\Delta I}{\Delta t}$$

$L$ は自己インダクタンスで、単位はヘンリー（H）。$1\mathrm{H}$ は、毎秒 $1\mathrm{A}$ の割合で電流が変わるときに $1\mathrm{V}$ を生むコイルです^[1]。

コイルは電流の変化をきらう

スイッチを入れた瞬間、電流はいきなり最大値にはなりません。増えようとするそばから、それをさまたげる起電力が立つ。

じわじわと立ち上がり、やがて $I=V/R$ に落ち着きます。落ち着いてしまえば $\Delta I/\Delta t=0$ なので、コイルはただの導線と同じ。

切るときが荒っぽい。接点が離れるのは $1$ ミリ秒よりずっと短い時間なので、$\Delta t$ が極端に小さくなります。$\Delta I/\Delta t$ が跳ね上がり、電源電圧をはるかに超える起電力が出る。

L は形で決まる

自己インダクタンスは、コイルの形と巻き方だけで決まります。流す電流にはよりません^[1]。

断面積 $A$、長さ $l$、巻数 $N$ のソレノイドなら次の形。

$$L=\frac{{\mu }_0{N}^{2}A}{l}$$

$N$ が 2 乗で入ります。巻数を 2 倍にすると、つくる磁場が 2 倍になり、それを受ける巻数も 2 倍になるためです。

たくわえるエネルギー

コイルに電流を流していくとき、自己誘導が逆らってきます。それに打ち勝つために電源がした仕事が、コイルにたくわえられます^[3]。

$$U=\frac{1}{2}L{I}^2$$

導き方はコンデンサーと同じ形です。電流が $i$ のとき、増やすのに要る仕事率は $Li(di/dt)$。$0$ から $I$ まで積むと $\frac{1}{2}L{I}^2$ になります^[3]。

ここでも $1/2$ が出ます。はじめは軽く、最後だけ重い。平均をとって半分。

エネルギーは磁場のなかにある

たくわえたエネルギーは、コイルの内側の磁場が持っています。単位体積あたりでは次の形^[3]。

$$u=\frac{B^2}{2{\mu }_0}$$

コンデンサーの $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ と対になる式です。電場と磁場で、たくわえ方の形がそろっています。

例 1：インダクタンスを測る

$50$ 回巻きのコイルで、電流が $0$ から $5.0\mathrm{A}$ まで $0.10\mathrm{s}$ で一様に増えるあいだ、$2.0\mathrm{V}$ の起電力が出ました^[1]。

$$L=\frac{|\epsilon |}{|\Delta I/\Delta t|}=\frac{2.0}{5.0/0.10}=4.0\times 10^{-2}\mathrm{H}$$

$40\mathrm{mH}$ です。巻数は式に出てきません。$L$ の値そのものが、形の情報をすべて含んでいます。

例 2：形から出す

断面積 $1.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$、長さ $0.20\mathrm{m}$、$500$ 回巻きのソレノイドです。

$$L=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times (500{)}^2\times 1.0\times 10^{-3}}{0.20}=1.6\times 10^{-3}\mathrm{H}$$

$1.6\mathrm{mH}$。巻数を $1000$ 回にすると 4 倍の $6.3\mathrm{mH}$ になります。

例 3：たくわえるエネルギー

例 2 のコイルに $2.0\mathrm{A}$ を流します。

$$U=\frac{1}{2}\times 1.6\times 10^{-3}\times (2.0{)}^2=3.2\times 10^{-3}\mathrm{J}$$

$3.2\mathrm{mJ}$。電流を 2 倍にすると 4 倍になります。

例 4：磁場の側から数える

例 3 の状態で、コイルの内側の磁束密度を出します。$n=500/0.20=2500{\mathrm{m}}^{-1}$。

$$B={\mu }_{0}nI=4\pi \times 10^{-7}\times 2500\times 2.0=6.3\times 10^{-3}\mathrm{T}$$

エネルギー密度は次のとおり。

$$u=\frac{(6.3\times 10^{-3}{)}^2}{2\times 4\pi \times 10^{-7}}=16J/{\mathrm{m}}^3$$

内側の体積は $1.0\times 10^{-3}\times 0.20=2.0\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^3$ なので、全体で $3.2\times 10^{-3}\mathrm{J}$。例 3 と一致します。

例 5：切る速さで電圧が変わる

例 2 のコイルに $2.0\mathrm{A}$ を流した状態から、電流を $0$ にします。まず $0.010\mathrm{s}$ かけた場合。

$$|\epsilon |=1.6\times 10^{-3}\times \frac{2.0}{0.010}=0.32\mathrm{V}$$

つぎに $1.0\times 10^{-5}\mathrm{s}$ で切った場合。

$$|\epsilon |=1.6\times 10^{-3}\times \frac{2.0}{1.0\times 10^{-5}}=3.2\times 10^2\mathrm{V}$$

$320\mathrm{V}$ です。電源が $6\mathrm{V}$ でも、切る速さ次第でこれだけの電圧が出る。火花の正体がこれです。

例 6：点火装置

自動車の点火プラグは、この原理で高電圧をつくります。コイルの電流を急に切り、$1$ 万ボルト規模の起電力を得る仕組み^[2]。

たくわえたエネルギー $\frac{1}{2}L{I}^2$ 自体は小さくても、短時間に出せば電圧は高くなります。エネルギーと電圧は別ものだ、という例になっています。

コンデンサーと並べる

コンデンサーは電圧を、コイルは電流を保とうとします。$V$ と $I$ を入れかえると、2 つの式は同じ形になる。

この対応は交流回路でも続きます。片方を理解しておけば、もう片方は入れかえて読めます。

参考文献