電気振動はコンデンサーとコイルでつくる「振り子」

充電したコンデンサーにコイルをつなぐと、電荷が行ったり来たりを繰り返します。これが電気振動です^[1]。

エネルギーはコンデンサーの電場と、コイルの磁場のあいだを往復します。抵抗がなければ、いつまでも減りません^[2]。

角周波数は次の形です。

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},T=2\pi \sqrt{LC}$$

後者はトムソンの公式と呼ばれます^[3]。

ばね振り子と同じ形

つり合いの位置を通りすぎて反対側まで行き、また戻ってくる。この往復は、ばねにつないだおもりの動きとそっくりです^[1]。

対応をとると、式が 1 対 1 で移し替えられます。

ばねの周期は $T=2\pi \sqrt{m/k}$ です。$m$ を $L$、$k$ を $1/C$ に置きかえると $T=2\pi \sqrt{LC}$ になる。同じ式です^[2]。

$L$ が質量にあたるのは、コイルが電流の変化をきらうためです。おもりが速度の変化をきらうのと同じ役まわり。

4 つの局面

1 周期を 4 つに区切ると、エネルギーの居場所が見えます。

電流が最大の瞬間、コンデンサーの電圧は $0$ です。それでも電流は止まりません。コイルが流し続けようとするので、逆向きに充電が進みます。

エネルギーの合計は変わらない

どの瞬間でも、2 つの和は一定です。

$$\frac{q^2}{2C}+\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{q_0^2}{2C}=\frac{1}{2}L{I}_0^2$$

この関係から、電流の最大値がすぐ出ます^[1]。

$$I_0=\frac{q_0}{\sqrt{LC}}=q_0{\omega }_0$$

ばね振り子で、位置エネルギーと運動エネルギーの和が一定になるのと同じ形です。

抵抗があると減っていく

実際の回路には抵抗があります。1 往復ごとに少しずつ熱になり、振幅が小さくなっていく。

摩擦のある振り子と同じです。抵抗が大きいほど早く止まり、ある値を超えると往復すらしなくなります。

例 1：周期を出す

$L=0.020\mathrm{H}$、$C=8.0\mu \mathrm{F}$ の回路です^[1]。

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{0.020\times 8.0\times 10^{-6}}}=2.5\times 10^{3}rad/s$$

$$T=\frac{2\pi }{2.5\times 10^3}=2.5\times 10^{-3}\mathrm{s}$$

$2.5$ ミリ秒。周波数に直すと $4.0\times 10^2\mathrm{Hz}$ です。

例 2：電流の最大値

例 1 の回路に $q_0=1.2\times 10^{-5}\mathrm{C}$ をためて放電させます^[1]。

$$I_0=q_0{\omega }_0=1.2\times 10^{-5}\times 2.5\times 10^3=3.0\times 10^{-2}\mathrm{A}$$

$30\mathrm{mA}$。コンデンサーが空になる瞬間に、この値になります。かかる時間は 4 分の 1 周期の $6.3\times 10^{-4}\mathrm{s}$ です^[1]。

例 3：エネルギーで確かめる

例 2 のはじめのエネルギーを出します。

$$U=\frac{q_0^2}{2C}=\frac{(1.2\times 10^{-5}{)}^2}{2\times 8.0\times 10^{-6}}=9.0\times 10^{-6}\mathrm{J}$$

コイル側でも計算します。

$$U=\frac{1}{2}L{I}_0^2=\frac{1}{2}\times 0.020\times (3.0\times 10^{-2}{)}^2=9.0\times 10^{-6}\mathrm{J}$$

一致しました。どちらから数えても $9.0\mu \mathrm{J}$ です。

例 4：容量を変える

例 1 の $C$ を 4 倍の $32\mu \mathrm{F}$ にします。周期は $\sqrt{C}$ に比例するので 2 倍。

$$T=2\times 2.5\times 10^{-3}=5.0\times 10^{-3}\mathrm{s}$$

$L$ を 4 倍にしても同じ結果です。周期を 2 倍にしたければ、どちらかを 4 倍にする。

例 5：無線の周波数

$L=0.50\mathrm{mH}$、$C=47\mathrm{pF}$ の回路を調べます^[2]。

$$f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{0.50\times 10^{-3}\times 47\times 10^{-12}}}=1.0\times 10^6\mathrm{Hz}$$

$1\mathrm{MHz}$。中波ラジオの帯域です。$q_0=4.7\mathrm{nC}$ なら電流の最大値は $31\mathrm{mA}$、全エネルギーは $0.24\mu \mathrm{J}$ になります^[2]。

例 6：ばねと数値を並べる

$m=0.10\mathrm{kg}$、$k=10N/m$ のばね振り子の角振動数を出します。

$$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{10}{0.10}}=10rad/s$$

電気振動で $L=0.10\mathrm{H}$、$1/C=10$ つまり $C=0.10\mathrm{F}$ とすると、${\omega }_0=1/\sqrt{0.10\times 0.10}=10rad/s$。

同じ値です。式の形が同じなので、数値もそのまま移ります。

押さえどころ

電気振動の問題は、ばね振り子に置きかえてから解くと見通しがよくなります。どちらの量が「位置」でどちらが「速度」かさえ決まれば、あとは力学と同じ手順です。

抵抗を入れると減衰し、電源をつなぐと強制振動になる。共振も同じ枠組みのなかにあります。

参考文献