コイルは電流を遅らせ、コンデンサーは進ませる - 交流のリアクタンス

交流をコイルに流すと、電流は電圧より 4 分の 1 周期だけ遅れます。コンデンサーでは逆に、電流のほうが 4 分の 1 周期進む^[1][2]。

抵抗では遅れも進みもありません。3 つとも同じ「電流を流しにくくするもの」でありながら、時間の合わせ方が違います。

抵抗は直流と同じ

抵抗では、電圧が最大の瞬間に電流も最大になります。$v=V_0\sin \omega t$ なら $i=(V_0/R)\sin \omega t$^[1]。

山と谷が同時に来るので、位相のずれは $0$。直流で覚えたことがそのまま通ります。

コイルは電流を遅らせる

コイルは電流の変化をきらいます。電圧を掛けても、電流はすぐには立ち上がらない。

電圧が最大のとき、電流はまだ $0$ です。電圧が $0$ に戻ったころ、電流がようやく最大になります。4 分の 1 周期ぶんの遅れ^[2]。

流しにくさは誘導リアクタンスと呼び、次の値になります^[1][3]。

$$X_L=\omega L=2\pi fL$$

周波数に比例します。速く振れば振るほど、コイルは通しにくくなる。直流（$f=0$）ではただの導線です。

コンデンサーは電流を進ませる

コンデンサーはたまるほど電圧が上がります。電荷がまだ少ないうち、つまり電圧が低いうちに、電流がいちばん流れる。

電流が最大のとき電圧は $0$、電圧が最大のとき電流は $0$ です。電流が 4 分の 1 周期ぶん先行します^[2]。

$$X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi fC}$$

周波数に反比例します^[1][3]。速く振るほど通しやすく、直流では通しません。

周波数で役割が入れかわる

$X_L$ は周波数に比例し、$X_C$ は反比例します。グラフにすると、低いところではコンデンサーが、高いところではコイルが通しにくくなる。

この性質を使うと、周波数で信号を選り分けられます。低い音だけを通す、高い雑音だけを落とす、という回路が組める。

電力を消費しない

コイルもコンデンサーも、平均すると電力を消費しません^[3]。

理由は位相のずれです。電圧と電流の積を 1 周期ぶん平均すると、$\sin$ と $\cos$ の積になって $0$ になる。

半周期はエネルギーをためこみ、次の半周期でそっくり電源へ返しています。行ったり来たりするだけで、熱にはならない。

例 1：抵抗につなぐ

最大値 $10\mathrm{V}$、$60\mathrm{Hz}$ の電源に $100\Omega$ をつなぎます^[1]。

$$I_0=\frac{10}{100}=0.10\mathrm{A}$$

位相のずれはなく、電圧と電流は同時に山を迎えます。

例 2：コンデンサーにつなぐ

同じ電源に $10\mu \mathrm{F}$ をつなぎます^[1]。$\omega =2\pi \times 60=377rad/s$。

$$X_C=\frac{1}{377\times 10\times 10^{-6}}=2.7\times 10^2\Omega$$

$$I_0=\frac{10}{265}=3.8\times 10^{-2}\mathrm{A}$$

$38\mathrm{mA}$。電流は電圧より 4 分の 1 周期進みます。

例 3：コイルにつなぐ

同じ電源に $15\mathrm{mH}$ をつなぎます^[1]。

$$X_L=377\times 0.015=5.7\Omega$$

$$I_0=\frac{10}{5.7}=1.8\mathrm{A}$$

$1.8\mathrm{A}$ です。同じ電源でも、素子によって電流が 50 倍近く違います。

例 4：周波数を上げる

例 2 と例 3 の周波数を $600\mathrm{Hz}$ へ、10 倍にします。

$X_C$ は 10 分の 1 の $26.5\Omega$ になり、電流は 10 倍の $0.38\mathrm{A}$。$X_L$ は 10 倍の $57\Omega$ になり、電流は 10 分の 1 の $0.18\mathrm{A}$ です。

役割が入れかわりました。同じ回路でも、周波数を変えれば通り道が変わります。

例 5：直流をつなぐ

$f=0$ として、それぞれの値を見ます。

$X_L=0$ なのでコイルはただの導線。$X_C$ は無限大になり、コンデンサーは電流を通しません。

回路図でコンデンサーが電池と直列に入っていると、定常状態では電流が $0$ になります。ここから来ている性質です。

例 6：2 つが等しくなる周波数

$L=15\mathrm{mH}$、$C=10\mu \mathrm{F}$ で $X_L=X_C$ となる周波数を出します。

$$\omega L=\frac{1}{\omega C}\Rightarrow \omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

$$\omega =\frac{1}{\sqrt{0.015\times 10\times 10^{-6}}}=2.6\times 10^{3}rad/s$$

$f=\omega /(2\pi )=4.1\times 10^2\mathrm{Hz}$ です。この周波数で 2 つの効果が打ち消し合います。

3 つを並べる

覚え方はそれぞれの性質から出ます。コイルは変化をきらうので遅れ、コンデンサーはたまる前に流れるので進む。

$X_L$ と $X_C$ で $\omega$ が分子と分母に分かれている点も、同じ理由から来ています。片方は変化が速いほど強く抵抗し、もう片方は速いほど楽に通す。

参考文献