電子は毎秒 1 mm も進まない、それでも電流はすぐ伝わる

銅線のなかを流れる電子は、毎秒 $1\mathrm{mm}$ も進みません。$1\mathrm{m}$ 先へ届くのに 2 時間ほどかかる計算になります^[1]。

それでもスイッチを入れれば電灯はすぐ点きます。この 2 つは矛盾しません。

電流は断面を通る電荷の量

電流は、導線のある断面を 1 秒あたりに通り抜ける電荷の量です。

$$I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}$$

$1\mathrm{A}$ は毎秒 $1\mathrm{C}$。電気素量で割ると、毎秒 $6.3\times 10^{18}$ 個の電子が通っていることになります。

数密度と速さで書き直す

断面積 $S$ の導線を考えます。単位体積あたりの自由電子の数を $n$、電子の平均の速さを $v$ とする。

$\Delta t$ のあいだに断面を通るのは、長さ $v\Delta t$ のぶんに入っている電子です。その個数は $nSv\Delta t$ 個。

電荷にすると $qnSv\Delta t$ なので、$\Delta t$ で割ると電流が出ます^[1]。

$$I=nqvS$$

この $v$ をドリフト速度と呼びます。電子が正味で進む速さ、という意味です。

実際に計算してみる

銅の自由電子の数密度は $8.34\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$ です^[1]。この大きさが効きます。

数が桁外れに多いので、1 個あたりの速さは小さくて足ります。太い銅線に $20\mathrm{A}$ を流しても、ドリフト速度は $4.5\times 10^{-4}m/s$ にしかなりません^[1]。

毎秒 $0.45\mathrm{mm}$。歩く速さの 1 万分の 1 です。

それでもすぐ点く理由

電子が届くのを待っているわけではありません。導線のなかにはもともと電子が詰まっています。

スイッチを入れると電場が導線全体へ広がります。この広がりが秒速 $10^8\mathrm{m}$ 規模で進み^[1]、各地点の電子がいっせいに動き始める。

水を満たしたホースと同じです。蛇口をひねると出口からすぐ水が出ますが、蛇口の水がそこまで来たわけではありません。

オームの法則が成り立つわけ

電子は電場から力を受けて加速しますが、すぐ原子にぶつかって速さを失います。加速と衝突をくり返すので、平均の速さが一定に落ち着く。

落ち着いた速さは電場に比例します。$v\propto E$ なら $I=nqvS$ から $I\propto E$、つまり $I\propto V$ です。オームの法則の形になります。

ぶつかりやすさは材質で決まります。これが抵抗率 $\rho$ の中身で、長さと断面積を合わせると $R=\rho L/S$ になる。

例 1：太い銅線

直径 $2.05\mathrm{mm}$ の銅線に $20.0\mathrm{A}$ を流します^[1]。断面積は $3.31\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$。

$$v=\frac{I}{nqS}=\frac{20.0}{8.34\times 10^{28}\times 1.6\times 10^{-19}\times 3.31\times 10^{-6}}$$

計算すると $4.5\times 10^{-4}m/s$ です。$20\mathrm{A}$ という大きな電流でも、この程度にしかなりません。

例 2：細い銅線

断面積 $1.0\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ の銅線に $2.0\mathrm{A}$ を流します。

$$v=\frac{2.0}{8.34\times 10^{28}\times 1.6\times 10^{-19}\times 1.0\times 10^{-6}}=1.5\times 10^{-4}m/s$$

毎秒 $0.15\mathrm{mm}$。例 1 より遅くなりました。断面が細いぶん、同じ電流を運ぶには速く動きそうに思えますが、電流も 10 分の 1 になっているためです。

例 3：1 m 進む時間

例 2 の電子が $1.0\mathrm{m}$ 先へ届くまでを出します。

$$t=\frac{1.0}{1.5\times 10^{-4}}=6.7\times 10^3\mathrm{s}$$

$1.9$ 時間。電球のフィラメントに、スイッチを入れたときの電子が到達するのは、ずっとあとです。

例 4：信号が届く時間

配線の長さを $10\mathrm{m}$ とし、電場の広がる速さを $1\times 10^{8}m/s$ とします^[1]。

$$t=\frac{10}{1\times 10^8}=1\times 10^{-7}\mathrm{s}$$

$0.1\mu \mathrm{s}$。人が感じとれる時間ではありません。例 3 とは 11 桁ちがいます。

例 5：電子を数える

$1.0\mathrm{A}$ が流れているとき、1 秒に断面を通る電子の数です。

$$N=\frac{1.0}{1.6\times 10^{-19}}=6.3\times 10^{18}$$

$630$ 京個。1 個ずつは遅くても、数でおぎなっています。

例 6：電子の向き

電流の向きは正電荷が動く向きと決められています。実際に動いているのは負の電子なので、電子は電流と逆向きに進む。

$I=nqvS$ に代入するときは大きさだけを使い、向きは別に決めます。電子の流れる向きを問われたら、電流と逆と答えることになります。

押さえどころ

電流の正体を「電子が導線を走り抜けること」と考えると、点灯の速さが説明できません。導線に詰まった電子が、その場でいっせいに動き出す、と見るのが正しい姿です。

数がとてつもなく多いので、1 個あたりはほとんど動かなくて足ります。$n$ の大きさが、この話のすべてを決めています。

参考文献