磁場を横切る導体棒には電池と同じ起電力が生まれる

磁場のなかを導体棒がすべると、両端に電位差が生まれます。大きさは磁束密度と長さと速さの積です^[1]。

$$\epsilon =Blv$$

$B$ は磁束密度、$l$ は棒のうち磁場のなかにある長さ、$v$ は速さ。棒そのものが電池の役割をします。

面積が増えるから

導線をコの字に置き、その上を棒がすべる形で考えます。棒が距離 $x$ だけ進むと、回路が囲む面積は $lx$ になる。

磁束は $\Phi =Blx$ です。時間で割ると、$x/t$ のところが速さになります^[1]。

$$\epsilon =\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=Bl\frac{\Delta x}{\Delta t}=Blv$$

磁場も棒の長さも変わっていません。変わっているのは囲む面積だけ。ファラデーの法則の $S$ を動かした場合にあたります。

電子が押されるから

同じ答えを、棒のなかの電子から出すこともできます。

棒といっしょに動く電子は、速さ $v$ で磁場を横切ります。1 個あたり $qvB$ のローレンツ力を受けて、棒の片端へ寄っていく。

片端に負、反対端に正がたまると、棒のなかに電場ができます。この電場が電子を押し戻す向きにはたらき、$qE=qvB$ で釣り合ったところで移動が止まる。

$$E=vB$$

棒の両端の電位差は $E$ に長さを掛けたものです。

$$V=El=Blv$$

面積から出した答えと一致しました。マクロに見ても、ミクロに見ても同じ式になります。

棒はブレーキを受ける

回路が閉じていれば電流が流れます^[1]。

$$I=\frac{Blv}{R}$$

電流が流れる棒は磁場から力を受けます。その向きは、レンツの法則から、動きをさまたげる向き^[3]。

$$F=BIl=\frac{B^2{l}^{2}v}{R}$$

速さに比例するブレーキです。速く動かすほど強く引き止められます。

仕事はどこへ行くか

一定の速さで動かし続けるには、ブレーキとつり合う力を加え続けることになります。その仕事率は次のとおり。

$$P=Fv=\frac{B^2{l}^2{v}^2}{R}$$

いっぽう抵抗で消費される電力は $P=I^{2}R$ です。

$$I^{2}R={\left(\frac{Blv}{R}\right)}^{2}R=\frac{B^2{l}^2{v}^2}{R}$$

ぴったり一致します^[1][2]。加えた仕事がすべて熱に変わっており、収支が合う。

例 1：起電力を出す

$B=0.50\mathrm{T}$ のなかを、長さ $0.20\mathrm{m}$ の棒が $3.0m/s$ ですべります。

$$\epsilon =0.50\times 0.20\times 3.0=0.30\mathrm{V}$$

乾電池の 5 分の 1 ほど。速さを上げれば比例して増えます。

例 2：電流と力

例 1 の回路の抵抗を $2.0\Omega$ とします。

$$I=\frac{0.30}{2.0}=0.15\mathrm{A}$$

$$F=BIl=0.50\times 0.15\times 0.20=1.5\times 10^{-2}\mathrm{N}$$

$15\mathrm{mN}$ のブレーキが掛かります。手はこれとつり合う力を加え続けることになる。

例 3：収支を確かめる

例 2 の状態で、手の仕事率と抵抗の消費電力を比べます。

$$P_{\text{手}}=Fv=1.5\times 10^{-2}\times 3.0=4.5\times 10^{-2}\mathrm{W}$$

$$P_{\text{抵抗}}=I^{2}R=(0.15{)}^2\times 2.0=4.5\times 10^{-2}\mathrm{W}$$

どちらも $45\mathrm{mW}$。一致しました。

例 4：宇宙でのばす

地球の磁場 $5.00\times 10^{-5}\mathrm{T}$ のなかを、長さ $2.00\times 10^4\mathrm{m}$ の導線が $7.80\times 10^{3}m/s$ で動きます^[1]。

$$\epsilon =5.00\times 10^{-5}\times 2.00\times 10^4\times 7.80\times 10^3=7.80\times 10^3\mathrm{V}$$

$7.8\mathrm{kV}$。磁場が弱くても、長さと速さで補えます。人工衛星から導線を垂らして発電する実験が実際に行われました。

例 5：終端速度

斜面のレールを棒がすべり落ちます。質量 $0.020\mathrm{kg}$、傾き $30^{\circ }$、$B=0.50\mathrm{T}$、$l=0.20\mathrm{m}$、$R=1.0\Omega$ とします。

速さが上がるほどブレーキが強くなり、やがて重力の斜面成分とつり合います。

$$mg\sin \theta =\frac{B^2{l}^{2}v}{R}$$

$$v=\frac{mgR\sin \theta }{B^2{l}^2}=\frac{0.020\times 9.8\times 1.0\times 0.50}{(0.50{)}^2\times (0.20{)}^2}=9.8m/s$$

これ以上は速くなりません。抵抗を小さくすると終端速度も下がります。

例 6：回路を開く

例 2 の回路を途中で切り、電流が流れないようにします。棒にはたらく力はどうなるでしょうか。

$0$ です。起電力は $0.30\mathrm{V}$ のまま出ていますが、電流が流れないので $F=BIl$ も $0$。棒は力を受けずにすべり続けます。

両端に電圧計をつなげば $0.30\mathrm{V}$ が読めます。電圧は出ているのに力は掛からない、という状態です。

押さえどころ

この仕組みは、発電機の最も単純な形です。棒を回転する枠に替えれば、そのまま交流発電機になります。

動かすのをやめれば発電も止まる。エネルギーは、動かし続ける側が払っています。

参考文献