ラジオはこうして局を選ぶ……RLC 直列回路の共振

抵抗とコイルとコンデンサーを直列につないだとき、全体の流しにくさは 3 つの単純な足し算にはなりません^[1]。

$$Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}$$

$Z$ はインピーダンスと呼びます。コイルとコンデンサーは引き算で入り、抵抗だけが 2 乗の形で別あつかい。

理由は位相です。$X_L$ と $X_C$ は電圧の向きが正反対なので打ち消し合い、$R$ とは $90^{\circ }$ ずれているので直角に足すことになります。

直角に足す

3 つの素子には同じ電流が流れます。直列だからです。

抵抗にかかる電圧は電流と同位相、コイルは $90^{\circ }$ 進み、コンデンサーは $90^{\circ }$ 遅れる。これを矢印にして足すと、直角三角形ができます。

三平方の定理の形になります。底辺が $R$、高さが $X_L-X_C$、斜辺が $Z$。

差が 0 になる周波数

$X_L$ は周波数に比例し、$X_C$ は反比例します。どこかで必ず等しくなる。

$${\omega }_{0}L=\frac{1}{{\omega }_{0}C}\Rightarrow {\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

この周波数を共振周波数と呼びます^[2]。$X_L-X_C=0$ なので、インピーダンスは $R$ だけになる。

$$Z=R$$

流しにくさが最小になり、電流が最大になります^[2]。電圧と電流のずれも $0$。

山の鋭さ

抵抗が小さいほど、共振の山は細く高くなります。鋭さを表す量が $Q$ です^[2]。

$$Q=\frac{{\omega }_{0}L}{R}$$

$Q$ が大きいほど、狭い範囲の周波数だけを大きく通す。ラジオの選局は、この鋭さで隣の局と分けています。

同調つまみは可変コンデンサーで、$C$ を変えて ${\omega }_0$ を動かす仕組みです。目当ての放送の周波数に合わせると、その局の信号だけが大きくなります。

例 1：共振から外れた回路

$R=10\Omega$、$L=20\mathrm{mH}$、$C=5.0\mu \mathrm{F}$ に $\omega =1.0\times 10^{3}rad/s$ を掛けます。

$$X_L=1.0\times 10^3\times 0.020=20\Omega$$

$$X_C=\frac{1}{1.0\times 10^3\times 5.0\times 10^{-6}}=2.0\times 10^2\Omega$$

$$Z=\sqrt{10^2+(20-200{)}^2}=1.8\times 10^2\Omega$$

$X_C$ が勝っているので、回路全体としてはコンデンサーのようにふるまいます。電流は電圧より進む。

例 2：共振周波数を出す

同じ回路の共振角周波数です。

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{0.020\times 5.0\times 10^{-6}}}=3.2\times 10^{3}rad/s$$

周波数に直すと $f_0={\omega }_0/(2\pi )=5.0\times 10^2\mathrm{Hz}$。このとき $X_L=X_C=63\Omega$ で、差が消えます。

例 3：電流を比べる

実効値 $100\mathrm{V}$ の電源をつなぎます。まず例 1 の状態。

$$I=\frac{100}{180}=0.56\mathrm{A}$$

共振させると $Z=R=10\Omega$ になります。

$$I=\frac{100}{10}=10\mathrm{A}$$

18 倍。周波数を合わせるだけで、これだけ変わります。

例 4：素子にかかる電圧

例 3 の共振状態で、コイルにかかる電圧を出します。

$$V_L=I{X}_L=10\times 63=6.3\times 10^2\mathrm{V}$$

電源の $100\mathrm{V}$ より大きい値です。コンデンサーにも同じ $630\mathrm{V}$ が、逆向きに掛かっています。

2 つを足すと打ち消し合って $0$。全体では抵抗の $100\mathrm{V}$ だけが残ります。部品の耐圧はこの $630\mathrm{V}$ で決めることになる。

例 5：鋭さを出す

例 2 の回路の $Q$ です。

$$Q=\frac{3.2\times 10^3\times 0.020}{10}=6.3$$

抵抗を $1.0\Omega$ に下げると $Q=63$ になり、山は 10 倍鋭くなります。選局に使うなら、抵抗は小さいほうがよい。

例 6：鋭い共振の例

$R=0.200\Omega$、$L=4.00\mathrm{mH}$、$C=2.00\mu \mathrm{F}$、電源の最大値 $4.00\mathrm{V}$ の回路です^[2]。

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{4.00\times 10^{-3}\times 2.00\times 10^{-6}}}=1.12\times 10^{4}rad/s$$

共振時の平均電力は $40.0\mathrm{W}$、$Q=224$、通す周波数の幅は $50.0rad/s$ しかありません^[2]。

${\omega }_0$ の $0.4$ パーセントの幅です。この鋭さがあれば、隣り合う放送局をきれいに分けられます。

押さえどころ

共振周波数に $R$ が入っていない点が要点です。抵抗は山の高さと鋭さを決めるだけで、山の位置は $L$ と $C$ だけで決まります。

ラジオの同調が $C$ を変えるだけで済むのも、この独立性のおかげです。

参考文献