100 V の裏にある 141 V｜交流の発生と実効値

家庭のコンセントは $100\mathrm{V}$ です。ところが電圧の最大値は $141\mathrm{V}$ あります。

$100$ のほうは実効値と呼ばれる値で、最大値を $\sqrt{2}$ で割ったもの^[1]。

$$V_{\text{実効}}=\frac{V_0}{\sqrt{2}}$$

なぜ最大値をそのまま名前にしないのか。答えは、実効値のほうが「同じ働きをする直流」と一致するからです。

回転が正弦波を生む

一様な磁場のなかでコイルを一定の速さで回します。面が磁場に垂直なとき磁束は最大、平行なとき $0$。

角速度を $\omega$ とすると、磁束は $\Phi =BA\cos \omega t$ と書けます。ファラデーの法則を当てると起電力が出る。

$$e=-N\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=NBA\omega \sin \omega t$$

正弦波になりました。交流の波形が正弦なのは、発電機が回転運動をしているためです^[1]。

図で電圧が最大になるのは、コイルの面が磁場と平行になる瞬間です。磁束そのものは $0$ ですが、変化の速さが最大になっている。

平均すると 0 になってしまう

正弦波の 1 周期を平均すると $0$ です。上半分と下半分がちょうど打ち消し合う。

それでも電熱線はきちんと熱くなります。電流の向きが変わっても、熱は出る向きが変わらないためです。

熱は $I^{2}R$ で決まります。$I$ が負でも $I^2$ は正。だから平均すべきなのは $I$ ではなく $I^2$ のほうになります。

2 乗平均の平方根

$v=V_0\sin \omega t$ を 2 乗すると $V_0^2{\sin }^2\omega t$ です。${\sin }^2$ の 1 周期平均は $1/2$ になります。

$$\overline{v^2}=\frac{V_0^2}{2}$$

平方根をとった値を実効値と決めます^[1][2]。

$$V_{\text{実効}}=\sqrt{\overline{v^2}}=\frac{V_0}{\sqrt{2}}$$

この決め方をすると、直流と同じ式が使えます。抵抗での平均電力は $P=V_{\text{実効}}^2/R=I_{\text{実効}}^{2}R$ になり、直流の公式がそのまま通る^[2]。

日本の 100 V

コンセントの $100\mathrm{V}$ は実効値です。最大値は $100\times \sqrt{2}=141\mathrm{V}$。絶縁の設計では、この $141\mathrm{V}$ のほうを見ることになります。

周波数は東日本が $50\mathrm{Hz}$、西日本が $60\mathrm{Hz}$ です。$50\mathrm{Hz}$ なら 1 周期は $0.020\mathrm{s}$ で、1 秒に 100 回ゼロを通ります。

例 1：最大値を出す

実効値 $100\mathrm{V}$ の交流の最大値です。

$$V_0=\sqrt{2}\times 100=141\mathrm{V}$$

ヨーロッパの $230\mathrm{V}$ なら $230\times \sqrt{2}=325\mathrm{V}$ になります^[1]。

例 2：電球を調べる

$100\mathrm{V}$ で $100\mathrm{W}$ の電球です。実効値どうしで直流と同じ式が使えます。

$$I_{\text{実効}}=\frac{100}{100}=1.0\mathrm{A},R=\frac{100}{1.0}=1.0\times 10^2\Omega$$

電流の最大値は $\sqrt{2}\times 1.0=1.4\mathrm{A}$。フィラメントには、瞬間的にこれだけ流れています。

例 3：瞬間の電力

例 2 の電球で、電圧が最大になる瞬間の電力を出します。

$$P_{\text{最大}}=\frac{V_0^2}{R}=\frac{(141{)}^2}{100}=2.0\times 10^2\mathrm{W}$$

$200\mathrm{W}$ です。平均の $100\mathrm{W}$ のちょうど 2 倍。${\sin }^2$ の平均が $1/2$ だという関係が、ここに出ています。

例 4：発電機の起電力

$100$ 回巻き、面積 $0.010{\mathrm{m}}^2$ のコイルを $B=0.20\mathrm{T}$ のなかで $50\mathrm{Hz}$ で回します。

$$\omega =2\pi \times 50=3.1\times 10^{2}rad/s$$

$$V_0=NBA\omega =100\times 0.20\times 0.010\times 3.1\times 10^2=63\mathrm{V}$$

実効値は $63/\sqrt{2}=44\mathrm{V}$ です。回転を速くすれば、比例して電圧が上がります。

例 5：周期と回数

$50\mathrm{Hz}$ の 1 周期を出します。

$$T=\frac{1}{50}=0.020\mathrm{s}$$

$20$ ミリ秒。1 周期に 2 回ゼロを通るので、1 秒では $100$ 回。蛍光灯のちらつきが $100\mathrm{Hz}$ になるのはこのためです。

例 6：直流と比べる

$100\mathrm{V}$ の交流と $100\mathrm{V}$ の直流を、同じ $50\Omega$ の電熱線につなぎます。どちらが熱くなるでしょうか。

同じです。実効値をそう決めたので、平均電力はどちらも $100^2/50=200\mathrm{W}$ になります。

最大値どうしで比べると交流のほうが大きく見えますが、大きい時間は短い。ならしてみれば同じところに落ち着きます。

押さえどころ

交流の問題で「電圧」と書いてあれば、ふつうは実効値です。最大値がほしいときは $\sqrt{2}$ を掛ける。

この 1 手間を入れておけば、直流で覚えた式をそのまま使えます。実効値という決め方は、そのために用意された道具です。

参考文献