電子の質量は直接測れないので電場と磁場で比電荷を出す

電子 1 個の質量は、はかりに載せて測れません。電荷も直接は数えられない。

それでも $e/m$ という比なら測れます。この量を比電荷と呼びます^[1]。

$$\frac{e}{m}=1.76\times 10^{11}C/kg$$

電場や磁場のなかで電子がどれだけ曲がるかを見ると、この比だけが式に残るためです。

電場のなかでは放物線を描く

平行な極板のあいだへ電子を横から打ちこみます。受ける力は $F=eE$ で、向きは一定。

進む向きには力がないので等速、垂直な向きには等加速度になります。斜方投射と同じ形なので、軌道は放物線^[1]。

$$a=\frac{eE}{m}$$

加速度に $e$ と $m$ が別々ではなく、$e/m$ という比の形で入っています。ここが要点です。

極板の長さを $L$、入射の速さを $v_0$ とすると、通り抜けるまでの時間は $L/v_0$。そのあいだのずれは次のとおり。

$$h=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{eE}{2m}\frac{L^2}{v_0^2}$$

$h$ を測れば $e/m$ が出ます^[1]。

$$\frac{e}{m}=\frac{2h{v}_0^2}{E{L}^2}$$

磁場のなかでは円を描く

磁場をかけると、力は速度に垂直なので円運動になります。半径は次の形。

$$r=\frac{mv}{eB}$$

これを比の形に直します^[2]。

$$\frac{e}{m}=\frac{v}{rB}$$

半径 $r$ と磁束密度 $B$ は測れます。残る $v$ をどう決めるかが問題になる。

速さを決める 2 つの道

1 つは加速電圧を使う方法です。電圧 $V$ で加速すれば、得たエネルギーがすべて運動エネルギーになります。

$$eV=\frac{1}{2}m{v}^2\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2eV}{m}}$$

ここにも $e/m$ しか出てきません。$r$ の式へ代入すると、比電荷が求まります。

もう 1 つは速度選択器です。電場と磁場を直交させ、2 つの力がつり合う速さの電子だけを通す^[3]。

$$eE=evB\Rightarrow v=\frac{E}{B}$$

電荷も質量も消えました。どんな粒子でも、この速さのものだけが直進します^[3]。

電荷が分かれば質量も分かる

比電荷だけでは、$e$ と $m$ を別々には出せません。もう 1 つ独立した測定が要ります。

それがミリカンの油滴の実験で、電気素量 $e$ そのものを測りました。2 つを合わせれば質量が出ます。

$$m=\frac{e}{e/m}=\frac{1.6\times 10^{-19}}{1.76\times 10^{11}}=9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$$

$1897$ 年、トムソンは陰極線を電場と磁場で曲げ、この比を測りました。出てきた値は水素イオンのおよそ千倍^[4]。

例 1：速度選択器を通す

$E=5.0\times 10^{3}V/m$、$B=1.0\times 10^{-3}\mathrm{T}$ を直交させます。

$$v=\frac{E}{B}=\frac{5.0\times 10^3}{1.0\times 10^{-3}}=5.0\times 10^{6}m/s$$

秒速 $5000\mathrm{km}$。これより速い電子は磁場の力が勝って曲がり、遅い電子は電場の力が勝って逆へ曲がります。

例 2：円の半径から出す

例 1 を通った電子を、$B=1.0\times 10^{-3}\mathrm{T}$ だけの領域へ入れます。半径が $2.8\mathrm{cm}$ と測れました。

$$\frac{e}{m}=\frac{v}{rB}=\frac{5.0\times 10^6}{0.028\times 1.0\times 10^{-3}}=1.8\times 10^{11}C/kg$$

$1.76\times 10^{11}$ に近い値が出ました。半径と磁束密度と速さだけで、比電荷が決まります。

例 3：加速電圧から速さを出す

静止した電子を $100\mathrm{V}$ で加速します。

$$v=\sqrt{2\times \frac{e}{m}\times V}=\sqrt{2\times 1.76\times 10^{11}\times 100}=5.9\times 10^{6}m/s$$

例 1 とほぼ同じ速さ。$100\mathrm{V}$ という身近な電圧で、光速の 2 パーセントに達します。

例 4：極板のあいだで曲げる

$v_0=5.0\times 10^{6}m/s$ の電子を、長さ $5.0\mathrm{cm}$、電場 $1.0\times 10^{3}V/m$ の極板間へ入れます。

通り抜ける時間は $t=0.050/(5.0\times 10^6)=1.0\times 10^{-8}\mathrm{s}$。加速度は次のとおり。

$$a=\frac{e}{m}E=1.76\times 10^{11}\times 1.0\times 10^3=1.8\times 10^{14}m/{\mathrm{s}}^2$$

$$h=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}\times 1.8\times 10^{14}\times (1.0\times 10^{-8}{)}^2=8.8\times 10^{-3}\mathrm{m}$$

$8.8\mathrm{mm}$ ずれます。ブラウン管はこの原理で電子を画面上の位置へ振り分けていました。

例 5：実験値から逆算する

$v_0=2.27\times 10^{7}m/s$、$E=1.50\times 10^{4}V/m$、$L=8.50\mathrm{cm}$ で、ずれが $1.85\mathrm{cm}$ と測れたとします^[1]。

$$\frac{e}{m}=\frac{2\times 0.0185\times (2.27\times 10^7{)}^2}{1.50\times 10^4\times (0.0850{)}^2}$$

計算すると $1.76\times 10^{11}C/kg$^[1]。測るのは長さと電圧と速さだけで足ります。

例 6：陽子と比べる

陽子の質量は $1.67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$ です。

$$\frac{e}{m_p}=\frac{1.6\times 10^{-19}}{1.67\times 10^{-27}}=9.6\times 10^{7}C/kg$$

電子の $1837$ 分の 1。同じ電場で同じだけ加速したとき、陽子は電子よりずっと曲がりにくくなります。

押さえどころ

電場でも磁場でも、式に出てくるのは $e$ と $m$ の比だけです。1 個の電子を捕まえて量る必要がありません。

曲がり方を測れば比が出て、電荷を別に測れば質量も出る。原子より小さい世界の量を、目に見える長さと電圧から決めた道すじです。

参考文献