三次方程式における解と係数の関係

2 次方程式の解と係数の関係

$a x^{2} + b x + c = 0$ の解 $α, β$ について次の等式が成り立つ。

$α + β = - \frac{b}{a} α β = \frac{c}{a}$

これを解と係数の関係という。

3 次方程式の解と係数の関係

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ の解 $α, β, γ$ について次の等式が成り立つ。

$⎩ ⎨ ⎧ α + β + γ = - \frac{b}{a} α β + β γ + γ α = \frac{c}{a} α β γ = - \frac{d}{a}$

これを（ $3$ 次方程式の）解と係数の関係という。

2 次方程式の解と係数の関係の証明

$a x^{2} + b x + c = 0$ の解が $α, β$ のとき

$a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β)$

となる。

$a (x - α) (x - β) = a {x^{2} - (α + β) x + α β} = a x^{2} - a (α + β) x + a α β = a x^{2} + b x + c$

一次の係数と定数項を比較すると

${- a (α + β) = b a α β = c$

$⎩ ⎨ ⎧ α + β = - \frac{b}{a} α β = \frac{c}{a}$

となる。

3 次方程式の解と係数の関係の証明

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ の解が $α, β, γ$ のとき

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = a (x - α) (x - β) (x - γ)$

となる。

$a (x - α) (x - β) (x - γ) = a {x^{2} - (α + β) x + α β} (x - γ) = a {x^{3} - (α + β + γ) x^{2} + (α β + β γ + γ α) x + α β γ} = a x^{3} - a (α + β + γ) x^{2} + a (α β + β γ + γ α) x + a α β γ = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$

二次の係数、一次の係数、定数項を比較すると

$⎩ ⎨ ⎧ - a (α + β + γ) = b a (α β + β γ + γ α) = c a α β γ = d ⎩ ⎨ ⎧ α + β + γ = - \frac{b}{a} α β + β γ + γ α = \frac{c}{a} α β γ = - \frac{d}{a}$

となる。

基本問題

次の 2 次方程式の 2 つの解の和と積を求めなさい。

$(1)$ 　 $x^{2} + 3 x - 4 = 0$

$(2)$ 　 $x^{2} - x - 6 = 0$

$(3)$ 　 $2 x^{2} + 13 x + 15 = 0$

$(4)$ 　 $6 x^{2} - 11 x + 4 = 0$

$(5)$ 　 $- 2 x^{2} + 3 x + 2 = 0$

解答

$(1)$ 　和： $- 3$ 　積： $- 4$

$(2)$ 　和： $1$ 　積： $6$

$(3)$ 　和： $- \frac{13}{2}$ 　積： $\frac{15}{2}$

$(4)$ 　和： $\frac{11}{6}$ 　積： $\frac{2}{3}$

$(5)$ 　和： $\frac{3}{2}$ 　積： $- 1$

練習問題

2 次方程式 $x^{2} - 2 x - 1$ の解を $α, β$ とするとき、次の式の値を求めなさい。

$(1)$ 　 $α + β$

$(2)$ 　 $α β$

$(3)$ 　 $α^{2} + β^{2}$

$(4)$ 　 $(α + 1) (β + 1)$

$(5)$ 　 $α^{3} + β^{3}$

解答

$(1)$ 　 $2$

$(2)$ 　 $- 1$

$(3)$

$(α + β)^{2} = α^{2} + 2 α β + β^{2} = α^{2} + β^{2} - 2 = 4$

$α^{2} + β^{2} = 6$

$(4)$

$(α + 1) (β + 1) = α β + α + β + 1 = (- 1) + 2 + 1 = 2$

$(5)$

$α^{3} + β^{3} = (α + β) (α^{2} - α β + β^{2}) = 2 \cdot (6 - (- 1)) = 14$