四次の完全平方式に関する問題と解き方

$x^4+6x^3+a{x}^2+12x+b$ がある整式の平方となるような定数 $a$、$b$ の値を求めよ。

解法

この四次式が完全平方式なら $(x^2+px+q{)}^2$ の形で表せるはず。

$(x^2+px+q{)}^2$ を展開すると $x^4+2p{x}^3+(p^2+2q)x^2+2pqx+q^2$ となります。与えられた式 $x^4+6x^3+a{x}^2+12x+b$ と係数を比較しましょう。

$x^3$ の係数から $2p=6$ なので $p=3$。

$x$ の係数から $2pq=12$ なので $2\cdot 3\cdot q=12$ より $q=2$。

$x^2$ の係数から $p^2+2q=a$ なので $3^2+2\cdot 2=9+4=13$ より $a=13$。

定数項から $q^2=b$ なので $2^2=4$ より $b=4$ となります。

解答
$a=13$、$b=4$