四次の完全平方式に関する問題と解き方

$x^{4} + 6 x^{3} + a x^{2} + 12 x + b$ がある整式の平方となるような定数 $a$ 、 $b$ の値を求めよ。

解法

この四次式が完全平方式なら $(x^{2} + p x + q)^{2}$ の形で表せるはず。

$(x^{2} + p x + q)^{2}$ を展開すると $x^{4} + 2 p x^{3} + (p^{2} + 2 q) x^{2} + 2 pq x + q^{2}$ となります。与えられた式 $x^{4} + 6 x^{3} + a x^{2} + 12 x + b$ と係数を比較しましょう。

$x^{3}$ の係数から $2 p = 6$ なので $p = 3$ 。

$x$ の係数から $2 pq = 12$ なので $2 \cdot 3 \cdot q = 12$ より $q = 2$ 。

$x^{2}$ の係数から $p^{2} + 2 q = a$ なので $3^{2} + 2 \cdot 2 = 9 + 4 = 13$ より $a = 13$ 。

定数項から $q^{2} = b$ なので $2^{2} = 4$ より $b = 4$ となります。

解答
$a = 13$ 、 $b = 4$