一次不等式の整数解が n 個のとき…といった問題の解き方

不等式 $- 1 \leq 2 x + 1 < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど3個あるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

といった問題は次のように解きます。

解法

$- 1 \leq 2 x + 1$ から $- 2 \leq 2 x$ 、つまり $- 1 \leq x$ となる。

$2 x + 1 < a$ から $x < \frac{a - 1}{2}$ となる。

まとめると

$- 1 \leq x < \frac{a - 1}{2}$

整数は連続しているから

$x = - 1, 0, 1$

となる。 $x = 2$ は解でない。

$x = 1$ は解に入るから $1 < \frac{a - 1}{2}$ すなわち $3 < a$

$x = 2$ は解でないから $2 \geq \frac{a - 1}{2}$ すなわち $a \leq 5$

以上より

$3 < a \leq 5$

「整数は連続しているから」のくだりがわかりにくいですね。

$x = 0, 1, 2$ だと、 $- 1 \leq x$ に矛盾するため、 $x = - 1$ からスタートする必要があります。

問題文に 3 つの整数解がある、とあるので、 $x = - 1, 0, 1$ となるわけです。

一次不等式と整数解がからむ問題はこうした「境界」に慣れることが大切です。