一次不等式の整数解が n 個のとき…といった問題の解き方

不等式 $-1\le 2x+1<a$ を満たす整数 $x$ がちょうど3個あるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

といった問題は次のように解きます。

解法

$-1\le 2x+1$ から $-2\le 2x$、つまり $-1\le x$ となる。

$2x+1<a$ から $x<\frac{a-1}{2}$ となる。

まとめると

$-1\le x<\frac{a-1}{2}$

整数は連続しているから

$x=-1,0,1$

となる。$x=2$ は解でない。

$x=1$ は解に入るから $1<\frac{a-1}{2}$ すなわち $3<a$

$x=2$ は解でないから $2\ge \frac{a-1}{2}$ すなわち $a\le 5$

以上より

$3<a\le 5$

難しいポイント

「整数は連続しているから」のくだりがわかりにくいですね。

$x=0,1,2$ だと、$-1\le x$ に矛盾するため、$x=-1$ からスタートする必要があります。

問題文に 3 つの整数解がある、とあるので、$x=-1,0,1$ となるわけです。

一次不等式と整数解がからむ問題はこうした「境界」に慣れることが大切です。