二次曲線の接線の公式（楕円・双曲線・放物線の共通の形）

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線は、次の式で書けます。

$$\frac{x{x}_1}{a^2}+\frac{y{y}_1}{b^2}=1$$

もとの式の $x^2$ を $x{x}_1$ に、$y^2$ を $y{y}_1$ に置きかえただけ。この置きかえは楕円に限らず、二次曲線のすべてで通用します。

接点が楕円の上を一周するあいだ、接線はその点でだけ曲線に触れています。式の $x_1$, $y_1$ に接点の座標を入れれば、その位置の接線が出てくる仕組みです。

置きかえの規則

どの二次曲線でも、次の対応で接線が作れます。

$2$ 乗は「片方を接点の値にする」、$1$ 次は「接点との平均にする」。この $2$ 行を覚えれば、$4$ 種類の公式を別々に覚える必要がありません。

円 $x^2+y^2=r^2$ なら $x{x}_1+y{y}_1=r^2$。双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ なら $\frac{x{x}_1}{a^2}-\frac{y{y}_1}{b^2}=1$ です。

放物線 $y^2=4px$ は $y^2$ と $x$ の両方が現れます。$y^2\to y{y}_1$、$x\to \frac{x+x_1}{2}$ なので

$$y{y}_1=4p\cdot \frac{x+x_1}{2}=2p(x+x_1)$$

となります。

楕円で試す

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 上の点 $\left(\frac{3}{\sqrt{2}},\sqrt{2}\right)$ における接線を求めます。

まず接点が曲線上にあることを確かめます。$\frac{9/2}{9}+\frac{2}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ なので、たしかに乗っています。

置きかえて代入します。

$$\frac{x}{9}\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{y}{4}\cdot \sqrt{2}=1$$

両辺を $12$ 倍して整理すると $2\sqrt{2}x+3\sqrt{2}y=12$、両辺を $\sqrt{2}$ で割って $2x+3y=6\sqrt{2}$ です。

検算します。接点を入れると $2\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}+3\sqrt{2}=3\sqrt{2}+3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ で、右辺と一致しました。

端の点は簡単になる

同じ楕円で $(3,0)$ における接線を求めます。$\frac{3x}{9}+0=1$ から $x=3$。長軸の端では、接線が縦の直線になります。

$(0,2)$ なら $\frac{2y}{4}=1$ で $y=2$。短軸の端では横の直線。楕円の $4$ つの端は、いつも軸に平行な接線を持ちます。

双曲線で試す

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ 上の点 $(4,3\sqrt{3})$ における接線です。

確認すると $\frac{16}{4}-\frac{27}{9}=4-3=1$。乗っています。

$$\frac{4x}{4}-\frac{3\sqrt{3}y}{9}=1$$

整理して $x-\frac{\sqrt{3}}{3}y=1$、$3$ 倍して $3x-\sqrt{3}y=3$ になります。

放物線で試す

$y^2=8x$ 上の点 $(2,4)$ における接線を求めます。$4p=8$ なので $p=2$。

$$4y=2\cdot 2(x+2)=4x+8$$

したがって $y=x+2$ です。傾きが $1$ になりました。

微分でも確かめられます。$y^2=8x$ の両辺を $x$ で微分して $2y\frac{dy}{dx}=8$、$\frac{dy}{dx}=\frac{4}{y}$。$y=4$ を入れると $1$ で一致します。

傾きから接線を作る

接点ではなく傾きが与えられる問題もあります。$y=mx+k$ が楕円に接する条件は、代入して判別式を $0$ にすることで出ます。

$$k^2=a^2{m}^2+b^2$$

双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ なら $k^2=a^2{m}^2-b^2$、放物線 $y^2=4px$ なら $k=\frac{p}{m}$ です。

傾きを $1$ つ決めると、接線は上下に $2$ 本引けます。$k$ の符号が $2$ 本に対応する。楕円が原点について対称なので、平行な接線が必ず対になります。

傾きの例

$y=2x+k$ が $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ に接するときの $k$ を求めます。$a^2=4$, $b^2=1$, $m=2$ なので

$$k^2=4\cdot 4+1=17$$

よって $k=\pm \sqrt{17}$ です。判別式を立てて計算しても同じ値になりますが、公式を知っていれば $1$ 行で終わります。

曲線の外の点から引く

点 $(0,3)$ から $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ に引いた接線を求めます。

この点を通る直線を $y=mx+3$ と置きます。接する条件は $3^2=4m^2+1$ なので $m^2=2$、$m=\pm \sqrt{2}$。

接線は $y=\sqrt{2}x+3$ と $y=-\sqrt{2}x+3$ の $2$ 本です。曲線の外にある点からは、いつも $2$ 本引けます。

$x$ 軸に垂直な直線は $y=mx+k$ の形で表せないので、その可能性を別に調べます。今回は $x=0$ が楕円と $2$ 点で交わるため、接線にはなりません。

接点を逆に求める

接線の式が分かっているとき、接点を出すこともできます。$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ に $2x+3y=6\sqrt{2}$ が接するとして、接点を $(x_1,y_1)$ とおきます。

接線の公式から $\frac{x_1}{9}x+\frac{y_1}{4}y=1$ で、これが与えられた式と同じ直線。係数を比べます。

$$\frac{x_1/9}{2}=\frac{y_1/4}{3}=\frac{1}{6\sqrt{2}}$$

第 $1$ 式から $x_1=\frac{18}{6\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$、第 $2$ 式から $y_1=\frac{12}{6\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。最初に求めた接点と一致しました。

手順は 2 つに分かれる

接線の問題は、接点が与えられているかどうかで道が分かれます。

接点が分かっていなければ、傾きを文字で置いて判別式に持ち込む。どちらの形で問われているかを最初に見分けると、迷いません。