二次曲線の接線の公式（楕円・双曲線・放物線の共通の形）

楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線は、次の式で書けます。

$\frac{x x _{1}}{a ^{2}} + \frac{y y _{1}}{b ^{2}} = 1$

もとの式の $x^{2}$ を $x x_{1}$ に、 $y^{2}$ を $y y_{1}$ に置きかえただけ。この置きかえは楕円に限らず、二次曲線のすべてで通用します。

接点が楕円の上を一周するあいだ、接線はその点でだけ曲線に触れています。式の $x_{1}$ , $y_{1}$ に接点の座標を入れれば、その位置の接線が出てくる仕組みです。

置きかえの規則

どの二次曲線でも、次の対応で接線が作れます。

$x^{2}$	$x x_{1}$ に置きかえる
$y^{2}$	$y y_{1}$ に置きかえる
$x$	$\frac{x + x _{1}}{2}$ に置きかえる
$y$	$\frac{y + y _{1}}{2}$ に置きかえる

$2$ 乗は「片方を接点の値にする」、 $1$ 次は「接点との平均にする」。この $2$ 行を覚えれば、 $4$ 種類の公式を別々に覚える必要がありません。

円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ なら $x x_{1} + y y_{1} = r^{2}$ 。双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ なら $\frac{x x _{1}}{a ^{2}} - \frac{y y _{1}}{b ^{2}} = 1$ です。

放物線 $y^{2} = 4 p x$ は $y^{2}$ と $x$ の両方が現れます。 $y^{2} \to y y_{1}$ 、 $x \to \frac{x + x _{1}}{2}$ なので

$y y_{1} = 4 p \cdot \frac{x + x _{1}}{2} = 2 p (x + x_{1})$

となります。

楕円で試す

$\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ 上の点 $(\frac{3}{2}, 2)$ における接線を求めます。

まず接点が曲線上にあることを確かめます。 $\frac{9/2}{9} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ なので、たしかに乗っています。

置きかえて代入します。

$\frac{x}{9} \cdot \frac{3}{2} + \frac{y}{4} \cdot 2 = 1$

両辺を $12$ 倍して整理すると $22 x + 32 y = 12$ 、両辺を $2$ で割って $2 x + 3 y = 62$ です。

検算します。接点を入れると $2 \cdot \frac{3}{2} + 32 = 32 + 32 = 62$ で、右辺と一致しました。

端の点は簡単になる

同じ楕円で $(3, 0)$ における接線を求めます。 $\frac{3 x}{9} + 0 = 1$ から $x = 3$ 。長軸の端では、接線が縦の直線になります。

$(0, 2)$ なら $\frac{2 y}{4} = 1$ で $y = 2$ 。短軸の端では横の直線。楕円の $4$ つの端は、いつも軸に平行な接線を持ちます。

双曲線で試す

$\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$ 上の点 $(4, 33)$ における接線です。

確認すると $\frac{16}{4} - \frac{27}{9} = 4 - 3 = 1$ 。乗っています。

$\frac{4 x}{4} - \frac{3 3 y}{9} = 1$

整理して $x - \frac{3}{3} y = 1$ 、 $3$ 倍して $3 x - 3 y = 3$ になります。

放物線で試す

$y^{2} = 8 x$ 上の点 $(2, 4)$ における接線を求めます。 $4 p = 8$ なので $p = 2$ 。

$4 y = 2 \cdot 2 (x + 2) = 4 x + 8$

したがって $y = x + 2$ です。傾きが $1$ になりました。

微分でも確かめられます。 $y^{2} = 8 x$ の両辺を $x$ で微分して $2 y \frac{d y}{d x} = 8$ 、 $\frac{d y}{d x} = \frac{4}{y}$ 。 $y = 4$ を入れると $1$ で一致します。

傾きから接線を作る

接点ではなく傾きが与えられる問題もあります。 $y = m x + k$ が楕円に接する条件は、代入して判別式を $0$ にすることで出ます。

$k^{2} = a^{2} m^{2} + b^{2}$

双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ なら $k^{2} = a^{2} m^{2} - b^{2}$ 、放物線 $y^{2} = 4 p x$ なら $k = \frac{p}{m}$ です。

傾きを $1$ つ決めると、接線は上下に $2$ 本引けます。 $k$ の符号が $2$ 本に対応する。楕円が原点について対称なので、平行な接線が必ず対になります。

傾きの例

$y = 2 x + k$ が $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ に接するときの $k$ を求めます。 $a^{2} = 4$ , $b^{2} = 1$ , $m = 2$ なので

$k^{2} = 4 \cdot 4 + 1 = 17$

よって $k = \pm 17$ です。判別式を立てて計算しても同じ値になりますが、公式を知っていれば $1$ 行で終わります。

曲線の外の点から引く

点 $(0, 3)$ から $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ に引いた接線を求めます。

この点を通る直線を $y = m x + 3$ と置きます。接する条件は $3^{2} = 4 m^{2} + 1$ なので $m^{2} = 2$ 、 $m = \pm 2$ 。

接線は $y = 2 x + 3$ と $y = - 2 x + 3$ の $2$ 本です。曲線の外にある点からは、いつも $2$ 本引けます。

$x$ 軸に垂直な直線は $y = m x + k$ の形で表せないので、その可能性を別に調べます。今回は $x = 0$ が楕円と $2$ 点で交わるため、接線にはなりません。

接点を逆に求める

接線の式が分かっているとき、接点を出すこともできます。 $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ に $2 x + 3 y = 62$ が接するとして、接点を $(x_{1}, y_{1})$ とおきます。

接線の公式から $\frac{x _{1}}{9} x + \frac{y _{1}}{4} y = 1$ で、これが与えられた式と同じ直線。係数を比べます。

$\frac{x _{1} /9}{2} = \frac{y _{1} /4}{3} = \frac{1}{6 2}$

第 $1$ 式から $x_{1} = \frac{18}{6 2} = \frac{3}{2}$ 、第 $2$ 式から $y_{1} = \frac{12}{6 2} = 2$ 。最初に求めた接点と一致しました。

手順は 2 つに分かれる

接線の問題は、接点が与えられているかどうかで道が分かれます。

接点が分かっている

置きかえの規則で 1 行で書く

接点が分かっていなければ、傾きを文字で置いて判別式に持ち込む。どちらの形で問われているかを最初に見分けると、迷いません。

接線の式は、もとの方程式の x² を x x₁ に、y² を y y₁ に、x を (x + x₁)/2 に置きかえるだけで作れます。円も楕円も双曲線も放物線も同じ規則。接点が与えられていない問題では傾きを文字で置き、判別式から k² = a²m² + b² に持ち込みます。曲線の外の点から 2 本引く例、接線から接点を逆算する例まで。