楕円の方程式は円をつぶした形〜高校数学の二次曲線

円の方程式 $x^2+y^2=r^2$ を横と縦で別々に伸び縮みさせると、楕円の方程式になります。

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

$a=b$ のとき $x^2+y^2=a^2$ に戻るので、円は楕円の特別な場合。$a$ が横の半径、$b$ が縦の半径にあたります。

破線の円を横に引き伸ばし、縦に縮めたものが実線の楕円です。円が横 $\frac{a}{r}$ 倍、縦 $\frac{b}{r}$ 倍に変形したと見ると、式の形が納得できます。

式の作り方

$x^2+y^2=r^2$ の両辺を $r^2$ で割ると $\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}=1$。分母の $2$ つがどちらも $r^2$ です。

ここで横方向の分母だけを $a^2$、縦方向だけを $b^2$ に置きかえる。それだけで楕円になります。円と楕円は、分母が同じか違うかの差でしかありません。

長軸と短軸

$a>b$ のとき、横に長い楕円です。$x$ 軸方向の $2a$ を長軸、$y$ 軸方向の $2b$ を短軸と呼びます。

$a<b$ なら縦長になり、長軸と短軸が入れ替わる。どちらが大きいかを見て呼び名が決まるので、$a$ が必ず長いわけではありません。

$4$ つの端点 $(\pm a,0)$ と $(0,\pm b)$ を頂点といいます。この $4$ 点を先に打ってから曲線をなぞると、図がゆがみません。

数を入れて描く

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ を考えます。分母が $25=5^2$ と $9=3^2$ なので、$a=5$, $b=3$。

頂点は $(\pm 5,0)$ と $(0,\pm 3)$ の $4$ つ。横に長い楕円です。長軸の長さは $10$、短軸の長さは $6$ になります。

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$ なら $a=2$, $b=4$ で縦長。頂点は $(\pm 2,0)$ と $(0,\pm 4)$ です。

分母がそろっていない式

$9x^2+4y^2=36$ のように、右辺が $1$ でない形で与えられることもあります。両辺を $36$ で割って標準形に直します。

$$\frac{9x^2}{36}+\frac{4y^2}{36}=1⟹\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$$

$a=2$, $b=3$ で縦長の楕円。右辺を $1$ にするところから始める、という手順を先に決めておくと迷いません。

$4x^2+y^2=4$ なら $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}=1$ で $a=1$, $b=2$ です。

媒介変数で表す

楕円上の点は、角 $\theta$ を使って次のように書けます。

$$x=a\cos \theta ,y=b\sin \theta$$

代入すると $\frac{a^2{\cos }^2\theta }{a^2}+\frac{b^2{\sin }^2\theta }{b^2}={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ となり、たしかに楕円の上に乗ります。

半径 $a$ の円で角 $\theta$ の位置を決め、そこから $x$ 座標をとります。$y$ 座標は半径 $b$ の円のほうから。$2$ つの円を組み合わせた点が、楕円をなぞっていきます。

$\theta$ は原点と点を結んだ線の角度ではありません。あくまで媒介変数で、大きい円の上での角度にあたります。ここをとり違えると、面積や長さの計算でずれます。

媒介変数を使う例

$x=3\cos \theta$, $y=2\sin \theta$ で表される曲線は、$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ です。$\cos \theta =\frac{x}{3}$, $\sin \theta =\frac{y}{2}$ を ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ に入れれば出ます。

$\theta =0$ なら $(3,0)$、$\theta =\frac{\pi }{2}$ なら $(0,2)$、$\theta =\pi$ なら $(-3,0)$。$4$ つの頂点を順に通っていきます。

$\theta =\frac{\pi }{3}$ を入れると $\left(\frac{3}{2},\sqrt{3}\right)$。楕円の式に代入して $\frac{9/4}{9}+\frac{3}{4}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ で確かめられます。

中心が原点にないとき

中心が $(p,q)$ にある楕円は、$x$ を $x-p$、$y$ を $y-q$ に置きかえた形になります。

$$\frac{(x-p{)}^2}{a^2}+\frac{(y-q{)}^2}{b^2}=1$$

平行移動の規則は円のときと同じ。$\frac{(x-1{)}^2}{4}+\frac{(y+2{)}^2}{9}=1$ なら、中心 $(1,-2)$、横の半径 $2$、縦の半径 $3$ です。

展開された形で与えられたら、平方完成で中心を割り出します。$4x^2+9y^2-8x+36y+4=0$ を整理してみます。

$$4(x^2-2x)+9(y^2+4y)+4=0$$

$4\{(x-1{)}^2-1\}+9\{(y+2{)}^2-4\}+4=0$ から $4(x-1{)}^2+9(y+2{)}^2=36$、両辺を $36$ で割って

$$\frac{(x-1{)}^2}{9}+\frac{(y+2{)}^2}{4}=1$$

中心 $(1,-2)$、$a=3$, $b=2$ の横長の楕円です。

円から楕円を作る変換

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ は、円 $X^2+Y^2=1$ で $X=\frac{x}{a}$, $Y=\frac{y}{b}$ と置いた形。逆に見れば $x=aX$, $y=bY$ という拡大です。

この見方は面積の計算に効きます。単位円の面積 $\pi$ が横 $a$ 倍、縦 $b$ 倍されるので、楕円の面積は $\pi ab$。$a=b=r$ なら $\pi r^2$ で円に戻ります。

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ の面積なら $\pi \cdot 5\cdot 3=15\pi$ です。積分せずに出せます。