楕円の方程式は円をつぶした形〜高校数学の二次曲線

円の方程式 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ を横と縦で別々に伸び縮みさせると、楕円の方程式になります。

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$

$a = b$ のとき $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ に戻るので、円は楕円の特別な場合。 $a$ が横の半径、 $b$ が縦の半径にあたります。

破線の円を横に引き伸ばし、縦に縮めたものが実線の楕円です。円が横 $\frac{a}{r}$ 倍、縦 $\frac{b}{r}$ 倍に変形したと見ると、式の形が納得できます。

式の作り方

$x^{2} + y^{2} = r^{2}$ の両辺を $r^{2}$ で割ると $\frac{x ^{2}}{r ^{2}} + \frac{y ^{2}}{r ^{2}} = 1$ 。分母の $2$ つがどちらも $r^{2}$ です。

ここで横方向の分母だけを $a^{2}$ 、縦方向だけを $b^{2}$ に置きかえる。それだけで楕円になります。円と楕円は、分母が同じか違うかの差でしかありません。

長軸と短軸

$a > b$ のとき、横に長い楕円です。 $x$ 軸方向の $2 a$ を長軸、 $y$ 軸方向の $2 b$ を短軸と呼びます。

$a < b$ なら縦長になり、長軸と短軸が入れ替わる。どちらが大きいかを見て呼び名が決まるので、 $a$ が必ず長いわけではありません。

$4$ つの端点 $(\pm a, 0)$ と $(0, \pm b)$ を頂点といいます。この $4$ 点を先に打ってから曲線をなぞると、図がゆがみません。

数を入れて描く

$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ を考えます。分母が $25 = 5^{2}$ と $9 = 3^{2}$ なので、 $a = 5$ , $b = 3$ 。

頂点は $(\pm 5, 0)$ と $(0, \pm 3)$ の $4$ つ。横に長い楕円です。長軸の長さは $10$ 、短軸の長さは $6$ になります。

$\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ なら $a = 2$ , $b = 4$ で縦長。頂点は $(\pm 2, 0)$ と $(0, \pm 4)$ です。

分母がそろっていない式

$9 x^{2} + 4 y^{2} = 36$ のように、右辺が $1$ でない形で与えられることもあります。両辺を $36$ で割って標準形に直します。

$\frac{9 x ^{2}}{36} + \frac{4 y ^{2}}{36} = 1 ⟹ \frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$

$a = 2$ , $b = 3$ で縦長の楕円。右辺を $1$ にするところから始める、という手順を先に決めておくと迷いません。

$4 x^{2} + y^{2} = 4$ なら $\frac{x ^{2}}{1} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ で $a = 1$ , $b = 2$ です。

媒介変数で表す

楕円上の点は、角 $θ$ を使って次のように書けます。

$x = a cos θ, y = b sin θ$

代入すると $\frac{a ^{2} cos ^{2} θ}{a ^{2}} + \frac{b ^{2} sin ^{2} θ}{b ^{2}} = cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ となり、たしかに楕円の上に乗ります。

半径 $a$ の円で角 $θ$ の位置を決め、そこから $x$ 座標をとります。 $y$ 座標は半径 $b$ の円のほうから。 $2$ つの円を組み合わせた点が、楕円をなぞっていきます。

$θ$ は原点と点を結んだ線の角度ではありません。あくまで媒介変数で、大きい円の上での角度にあたります。ここをとり違えると、面積や長さの計算でずれます。

媒介変数を使う例

$x = 3 cos θ$ , $y = 2 sin θ$ で表される曲線は、 $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ です。 $cos θ = \frac{x}{3}$ , $sin θ = \frac{y}{2}$ を $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ に入れれば出ます。

$θ = 0$ なら $(3, 0)$ 、 $θ = \frac{π}{2}$ なら $(0, 2)$ 、 $θ = π$ なら $(- 3, 0)$ 。 $4$ つの頂点を順に通っていきます。

$θ = \frac{π}{3}$ を入れると $(\frac{3}{2}, 3)$ 。楕円の式に代入して $\frac{9/4}{9} + \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ で確かめられます。

中心が原点にないとき

中心が $(p, q)$ にある楕円は、 $x$ を $x - p$ 、 $y$ を $y - q$ に置きかえた形になります。

$\frac{( x - p ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - q ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$

平行移動の規則は円のときと同じ。 $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{4} + \frac{( y + 2 ) ^{2}}{9} = 1$ なら、中心 $(1, - 2)$ 、横の半径 $2$ 、縦の半径 $3$ です。

展開された形で与えられたら、平方完成で中心を割り出します。 $4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x + 36 y + 4 = 0$ を整理してみます。

$4 (x^{2} - 2 x) + 9 (y^{2} + 4 y) + 4 = 0$

$4 {(x - 1)^{2} - 1} + 9 {(y + 2)^{2} - 4} + 4 = 0$ から $4 (x - 1)^{2} + 9 (y + 2)^{2} = 36$ 、両辺を $36$ で割って

$\frac{( x - 1 ) ^{2}}{9} + \frac{( y + 2 ) ^{2}}{4} = 1$

中心 $(1, - 2)$ 、 $a = 3$ , $b = 2$ の横長の楕円です。

円から楕円を作る変換

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ は、円 $X^{2} + Y^{2} = 1$ で $X = \frac{x}{a}$ , $Y = \frac{y}{b}$ と置いた形。逆に見れば $x = a X$ , $y = bY$ という拡大です。

この見方は面積の計算に効きます。単位円の面積 $π$ が横 $a$ 倍、縦 $b$ 倍されるので、楕円の面積は $π ab$ 。 $a = b = r$ なら $π r^{2}$ で円に戻ります。

$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ の面積なら $π \cdot 5 \cdot 3 = 15 π$ です。積分せずに出せます。

x² + y² = r² を r² で割って、横と縦の分母を別々の値にすると楕円になります。円は a = b の特別な場合。長軸と短軸の見分け、右辺が 1 でない式を標準形へ直す手順、x = a cosθ、y = b sinθ という媒介変数、中心が原点にないときの平方完成、そして面積が πab になる理由まで、例を並べて追いました。