媒介変数表示の例をたどる｜高校数学の二次曲線と有名な曲線

曲線上の点の座標を、$x$ と $y$ の関係式ではなく、$1$ つの変数の式で書く方法があります。

$$x=f(t),y=g(t)$$

この $t$ を媒介変数といいます。$t$ を動かすと点が動き、その軌跡が曲線になる。時刻を入れると点の位置が返ってくる装置、と考えると分かりやすい。

$t$ を $0$ から $2\pi$ まで進めると、点が楕円を一周します。曲線が「ある」のではなく、点が「動いて」できる。媒介変数表示はこの見方に立った書き方です。

直線

点 $(x_0,y_0)$ を通り、方向が $(\ell ,m)$ の直線です。

$$x=x_0+\ell t,y=y_0+mt$$

$t$ が $1$ 増えるごとに $(\ell ,m)$ だけ進みます。$t$ を消すには $t=\frac{x-x_0}{\ell }$ を代入する。

点 $(1,2)$ を通り方向 $(3,-1)$ なら $x=1+3t$, $y=2-t$。$t=\frac{x-1}{3}$ を入れて $y=2-\frac{x-1}{3}$、整理して $x+3y=7$ です。

円

半径 $r$ の円は、角度を媒介変数にとります。

$$x=r\cos t,y=r\sin t$$

${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$ から $x^2+y^2=r^2$。中心が $(p,q)$ なら $x=p+r\cos t$, $y=q+r\sin t$ とずらします。

$t$ の範囲を $0\le t\le \pi$ に切ると上半分だけ、$-\frac{\pi }{2}\le t\le \frac{\pi }{2}$ なら右半分。範囲を指定できるのが媒介変数の便利なところです。

楕円

円の $\cos$ と $\sin$ に別々の係数を掛けます。

$$x=a\cos t,y=b\sin t$$

$\cos t=\frac{x}{a}$, $\sin t=\frac{y}{b}$ を ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ に入れて $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ が出ます。

$x=4\cos t$, $y=3\sin t$ なら $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ です。

双曲線

$\cos$ と $\sin$ の代わりに $\frac{1}{\cos }$ と $\tan$ を使います。

$$x=\frac{a}{\cos t},y=b\tan t$$

$1+{\tan }^{2}t=\frac{1}{{\cos }^{2}t}$ を使うと $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{1}{{\cos }^{2}t}-{\tan }^{2}t=1$。

$\cos t$ の符号で右側と左側の枝が分かれます。$-\frac{\pi }{2}<t<\frac{\pi }{2}$ なら右の枝、$\frac{\pi }{2}<t<\frac{3\pi }{2}$ なら左の枝です。

放物線

$y^2=4px$ は $y$ を媒介変数にとると簡単になります。

$$x=p{t}^2,y=2pt$$

代入すると $y^2=4p^2{t}^2=4p\cdot p{t}^2=4px$ で確かめられます。$t$ が実数全体を動けば、放物線全体を覆う。

$y^2=8x$ なら $p=2$ なので $x=2t^2$, $y=4t$ です。

サイクロイド

円が直線の上をすべらずに転がるとき、円周上の $1$ 点が描く曲線です。

$$x=r(t-\sin t),y=r(1-\cos t)$$

$t$ は円の回転角。$t=0$ で原点にあり、$t=2\pi$ で $1$ 回転して $x=2\pi r$ の位置に戻ります。

$x$ と $y$ の関係式に直すことはできますが、非常に複雑になります。媒介変数のほうが素直に書ける典型例です。

アステロイド

半径 $a$ の円の内側を、半径 $\frac{a}{4}$ の円が転がるときの軌跡です。

$$x=a{\cos }^{3}t,y=a{\sin }^{3}t$$

$\cos t={\left(\frac{x}{a}\right)}^{1/3}$ などを代入すると $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$。$4$ つのとがった角を持つ形になります。

リサージュ曲線

$\cos$ と $\sin$ の周期を変えて組み合わせると、閉じた模様が現れます。

$$x=a\sin (mt),y=b\sin (nt)$$

$m$ と $n$ の比で形が決まる。$m:n$ が簡単な整数比なら閉じた曲線になり、無理数比なら閉じません。

媒介変数を消す 3 つの手

問題では「$t$ を消去して $x$ と $y$ の式にせよ」と問われることがあります。使う手はだいたい $3$ つです。

$x=t+\frac{1}{t}$, $y=t-\frac{1}{t}$ なら $3$ 番目です。$x^2-y^2=4$ が出ます。

$x+y=2t$, $x-y=\frac{2}{t}$ から $(x+y)(x-y)=4$ と見ても同じ。双曲線でした。

範囲に気をつける

$t$ を消すと範囲の情報が落ちます。$x=t^2$, $y=t$ から $t$ を消すと $x=y^2$ ですが、$t$ が $0$ 以上に制限されていれば $y\ge 0$ の半分だけです。

$x=\sin t$ なら $-1\le x\le 1$。$t$ を消した式だけを見ると、この範囲が見えなくなります。

消去したあとに「$x$ と $y$ のとりうる範囲」を書き添える。答案ではここが採点の分かれ目になります。