楕円の方程式から焦点の座標を求める - 高校数学の二次曲線

楕円の方程式が分かっていれば、焦点の座標は分母を引き算するだけで出ます。

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0) ⟹ F (\pm a^{2} - b^{2}, 0)$

大きいほうの分母から小さいほうを引き、平方根をとる。焦点は長いほうの軸に乗ります。

縦横の比が入れ替わると、焦点の乗る軸も入れ替わります。焦点はつねに長いほうの軸の上。円に近づく瞬間は $2$ 点が中心に集まります。

手順は 3 段

右辺を 1 にして標準形へ直す

分母の大小を見て、長いほうの軸を決める

大きい分母から小さい分母を引き、平方根をとる

$2$ 段目を飛ばすと、 $x$ 軸と $y$ 軸をとり違えます。分母の数字だけを見て機械的に引くのではなく、どちらが大きいかを先に確かめます。

$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ の焦点を求めます。分母は $25$ と $16$ で、 $x$ 側が大きい。横長です。

$c^{2} = 25 - 16 = 9, c = 3$

焦点は $(3, 0)$ と $(- 3, 0)$ 。長軸の長さは $2 \times 5 = 10$ 、短軸は $2 \times 4 = 8$ になります。

$\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{25} = 1$ では $y$ 側の分母が大きい。縦長なので焦点は $y$ 軸上です。

$c^{2} = 25 - 9 = 16, c = 4$

焦点は $(0, 4)$ と $(0, - 4)$ 。 $x$ 軸上の $(\pm 4, 0)$ と書くのが、いちばん多い誤りです。

$16 x^{2} + 25 y^{2} = 400$ の焦点を求めます。まず両辺を $400$ で割ります。

$\frac{16 x ^{2}}{400} + \frac{25 y ^{2}}{400} = 1 ⟹ \frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$

$a = 5$ , $b = 4$ で横長。 $c^{2} = 25 - 16 = 9$ から焦点は $(\pm 3, 0)$ です。

$9 x^{2} + 4 y^{2} = 36$ なら $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ で縦長。 $c^{2} = 9 - 4 = 5$ から焦点は $(0, \pm 5)$ になります。

$2$ つの分母の差が、そのまま $c^{2}$ です。青い部分の幅が焦点までの距離の $2$ 乗にあたります。引き算だけで焦点が決まる理由がここにあります。

$\frac{( x - p ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - q ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ なら、まず中心 $(p, q)$ を基準に $c$ を求め、そこから焦点をずらします。

$\frac{( x - 2 ) ^{2}}{25} + \frac{( y + 1 ) ^{2}}{16} = 1$ を見ます。 $a = 5$ , $b = 4$ で横長、 $c = 3$ 。

中心が $(2, - 1)$ なので、焦点は $(2 \pm 3, - 1)$ 、つまり $(5, - 1)$ と $(- 1, - 1)$ です。中心からの相対位置で考えると間違えません。

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x + 18 y - 11 = 0$ の焦点を求めます。平方完成で標準形に直します。

$4 (x^{2} - 4 x) + 9 (y^{2} + 2 y) = 11$

$4 {(x - 2)^{2} - 4} + 9 {(y + 1)^{2} - 1} = 11$ から $4 (x - 2)^{2} + 9 (y + 1)^{2} = 36$ 、両辺を $36$ で割って

$\frac{( x - 2 ) ^{2}}{9} + \frac{( y + 1 ) ^{2}}{4} = 1$

$a = 3$ , $b = 2$ で横長、 $c^{2} = 9 - 4 = 5$ 。中心 $(2, - 1)$ から $5$ だけ横へ動かして、焦点は $(2 \pm 5, - 1)$ です。

焦点までの距離 $c$ と長半径の比を離心率といいます。横長なら $e = \frac{c}{a}$ 。

$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ なら $e = \frac{3}{5} = 0.6$ 。 $0$ に近いほど円に近く、 $1$ に近いほど細長い形になります。

$e = 0$ は円、 $e = 1$ は放物線。楕円の離心率は必ず $0 < e < 1$ の範囲に入ります。

焦点が $(\pm 2, 0)$ 、短軸の長さが $6$ の楕円を求めます。

短軸の長さが $6$ なので $b = 3$ 。 $c = 2$ から $a^{2} = b^{2} + c^{2} = 9 + 4 = 13$ 。

$\frac{x ^{2}}{13} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$

焦点が $(0, \pm 1)$ 、長軸の長さが $4$ なら縦長です。 $2 b = 4$ で $b = 2$ 、 $c = 1$ から $a^{2} = 4 - 1 = 3$ 。式は $\frac{x ^{2}}{3} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ になります。

焦点を出したら、短軸の端から焦点までの距離を測ると検算になります。横長なら、その距離がちょうど $a$ に等しくなるはずです。

$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ で確かめます。短軸の端は $(0, 4)$ 、焦点は $(3, 0)$ 。距離は $9 + 16 = 5$ で、たしかに $a = 5$ と一致しました。

大きいほうの分母から小さいほうを引いて平方根をとれば、それが焦点までの距離。焦点はつねに長いほうの軸に乗ります。右辺が 1 でない式を直す手順、縦長で y 軸上に来る場合、中心が原点にない場合の平方完成、展開された式からの復元、離心率の出し方、そして短軸の端から測る検算まで例で並べました。