楕円の方程式から焦点の座標を求める - 高校数学の二次曲線

楕円の方程式が分かっていれば、焦点の座標は分母を引き算するだけで出ます。

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)⟹\mathrm{F}(\pm \sqrt{a^2-b^2},0)$$

大きいほうの分母から小さいほうを引き、平方根をとる。焦点は長いほうの軸に乗ります。

縦横の比が入れ替わると、焦点の乗る軸も入れ替わります。焦点はつねに長いほうの軸の上。円に近づく瞬間は $2$ 点が中心に集まります。

手順は 3 段

$2$ 段目を飛ばすと、$x$ 軸と $y$ 軸をとり違えます。分母の数字だけを見て機械的に引くのではなく、どちらが大きいかを先に確かめます。

横長の例

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ の焦点を求めます。分母は $25$ と $16$ で、$x$ 側が大きい。横長です。

$$c^2=25-16=9,c=3$$

焦点は $(3,0)$ と $(-3,0)$。長軸の長さは $2\times 5=10$、短軸は $2\times 4=8$ になります。

縦長の例

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ では $y$ 側の分母が大きい。縦長なので焦点は $y$ 軸上です。

$$c^2=25-9=16,c=4$$

焦点は $(0,4)$ と $(0,-4)$。$x$ 軸上の $(\pm 4,0)$ と書くのが、いちばん多い誤りです。

右辺が 1 でない例

$16x^2+25y^2=400$ の焦点を求めます。まず両辺を $400$ で割ります。

$$\frac{16x^2}{400}+\frac{25y^2}{400}=1⟹\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$$

$a=5$, $b=4$ で横長。$c^2=25-16=9$ から焦点は $(\pm 3,0)$ です。

$9x^2+4y^2=36$ なら $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ で縦長。$c^2=9-4=5$ から焦点は $(0,\pm \sqrt{5})$ になります。

$2$ つの分母の差が、そのまま $c^2$ です。青い部分の幅が焦点までの距離の $2$ 乗にあたります。引き算だけで焦点が決まる理由がここにあります。

中心が原点にないとき

$\frac{(x-p{)}^2}{a^2}+\frac{(y-q{)}^2}{b^2}=1$ なら、まず中心 $(p,q)$ を基準に $c$ を求め、そこから焦点をずらします。

$\frac{(x-2{)}^2}{25}+\frac{(y+1{)}^2}{16}=1$ を見ます。$a=5$, $b=4$ で横長、$c=3$。

中心が $(2,-1)$ なので、焦点は $(2\pm 3,-1)$、つまり $(5,-1)$ と $(-1,-1)$ です。中心からの相対位置で考えると間違えません。

展開された式から

$4x^2+9y^2-16x+18y-11=0$ の焦点を求めます。平方完成で標準形に直します。

$$4(x^2-4x)+9(y^2+2y)=11$$

$4\{(x-2{)}^2-4\}+9\{(y+1{)}^2-1\}=11$ から $4(x-2{)}^2+9(y+1{)}^2=36$、両辺を $36$ で割って

$$\frac{(x-2{)}^2}{9}+\frac{(y+1{)}^2}{4}=1$$

$a=3$, $b=2$ で横長、$c^2=9-4=5$。中心 $(2,-1)$ から $\sqrt{5}$ だけ横へ動かして、焦点は $(2\pm \sqrt{5},-1)$ です。

離心率も同じ材料で出る

焦点までの距離 $c$ と長半径の比を離心率といいます。横長なら $e=\frac{c}{a}$。

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ なら $e=\frac{3}{5}=0.6$。$0$ に近いほど円に近く、$1$ に近いほど細長い形になります。

$e=0$ は円、$e=1$ は放物線。楕円の離心率は必ず $0<e<1$ の範囲に入ります。

逆に焦点から式を作る

焦点が $(\pm 2,0)$、短軸の長さが $6$ の楕円を求めます。

短軸の長さが $6$ なので $b=3$。$c=2$ から $a^2=b^2+c^2=9+4=13$。

$$\frac{x^2}{13}+\frac{y^2}{9}=1$$

焦点が $(0,\pm 1)$、長軸の長さが $4$ なら縦長です。$2b=4$ で $b=2$、$c=1$ から $a^2=4-1=3$。式は $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$ になります。

確かめ方

焦点を出したら、短軸の端から焦点までの距離を測ると検算になります。横長なら、その距離がちょうど $a$ に等しくなるはずです。

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ で確かめます。短軸の端は $(0,4)$、焦点は $(3,0)$。距離は $\sqrt{9+16}=5$ で、たしかに $a=5$ と一致しました。