左から来るか右から来るかで値が変わる - 片側極限と連続の判定

$f(x)=\frac{x}{|x|}$ に $x=0.001$ を入れると $1$、$x=-0.001$ なら $-1$ です。$0$ にどんなに近づけても、この 2 つの値は縮まりません。

近づく向きを分けて書きます。左からなら $x\to 0-0$、右からなら $x\to 0+0$。

$$\underset{x\to 0-0}{\lim }\frac{x}{|x|}=-1,\underset{x\to 0+0}{\lim }\frac{x}{|x|}=1$$

これを片側極限といいます^[1]。値が食い違うので、$x\to 0$ の極限は存在しません。

左からと右から

$x<a$ の範囲だけで $x$ を $a$ に近づけたときの行き先が左側極限です^[1]。$x>a$ だけで近づければ右側極限になります。

記号は $\underset{x\to a-0}{\lim }f(x)$ と $\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)$。$a=0$ のときは $x\to -0$、$x\to +0$ とも書きます。

両側がそろえば極限になる

左右の片側極限が両方存在し、しかも同じ値なら、そのときに限って $x\to a$ の極限が存在します^[1]。

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L⟺\underset{x\to a-0}{\lim }f(x)=L\text{かつ}\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)=L$$

$y=x^2$ を $x=3$ で見ると、左から近づいても右から近づいても $9$ に着きます。だから $\underset{x\to 3}{\lim }{x}^2=9$。

グラフがつながっている関数では、この一致がどの点でも起こります。逆に、切れている点では左右が割れる。

数列の極限には片側という区別がありません。$n$ は $1,2,3,\dots$ と一方向にしか進まないためです。

連続の定義

関数が点 $a$ で連続であるとは、次の 3 つが同時に成り立つことをいいます^[2]。

2 つ目は左右の一致を要求しています。3 つ目は、行き先と実際の値がずれていないことを要求している。

どれか 1 つでも欠けると、その点で不連続になります。

例：ガウス記号

$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数です。$[2.7]=2$、$[-0.3]=-1$。

$x=2$ の近くで見ると、左から近づけば値は $1$、右から近づけば $2$ です。

$$\underset{x\to 2-0}{\lim }[x]=1,\underset{x\to 2+0}{\lim }[x]=2$$

$f(2)=2$ なので、右側極限だけが関数値と一致します。この状態を右側連続と呼びます^[2][4]。

郵便料金や税率の表は、この形の関数になっています。境目でいくらになるかは、どちら側に含めるかの約束で決まる。

不連続の 3 つの型

不連続にも種類があります。片側極限の様子で分類できます^[2]。

除去可能なものは、$f(a)$ を極限の値に置きかえるだけで連続になります。跳びと無限はそうはいきません。

ロシアの伝統的な教科書では別の分け方をします。左右とも有限の値を持つものを第 1 種、そうでないものを第 2 種と呼びます^[3]。

第 1 種のうち、跳びの幅 $f(a+0)-f(a-0)$ が $0$ のものが除去可能な点にあたります^[3]。

例：分母が $0$ になる点

$f(x)=\frac{1}{x}$ を $x=0$ で見ると、左からは $-\infty$、右からは $+\infty$ です。

$$\underset{x\to 0-0}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty ,\underset{x\to 0+0}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty$$

片側極限のどちらかが $\pm \infty$ になるとき、直線 $x=0$ は垂直漸近線と呼ばれます^[1]。

$\frac{1}{x^2}$ なら左右とも $+\infty$ で、こちらは $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}=+\infty$ と書けます。

例：片側極限すら存在しない

$f(x)=\sin \frac{1}{x}$ を $x=0$ の近くで見ます。$x$ が小さくなるほど $\frac{1}{x}$ が速く動き、値が $-1$ と $1$ のあいだを何度も往復する。

右から近づけても、どの値にも落ち着きません。片側極限が存在しないので、第 2 種の不連続点になります^[3]。

例：区間の端

$f(x)=\sqrt{x}$ は $x\ge 0$ でしか定義されません。$x=0$ では左から近づけないので、右側極限だけを考えます。

$\underset{x\to 0+0}{\lim }\sqrt{x}=0=f(0)$ なので、$x=0$ で右側連続です^[4]。

定義域の端では、はじめから片側しかない。連続かどうかも片側で判定します。

例：連続になる係数を決める

$f(x)=<!--29c4604b38a64854ac8493845505be98_4-->$ が $x=1$ で連続になる $a$ を求めます。

左側極限は $a+1$、右側極限は $1^2+2=3$、関数値は $f(1)=a+1$ です。

3 つが一致する条件は $a+1=3$ で、$a=2$。境目の両側から同じ高さへ着地させる、という要求になっています。

微分でも左右を見る

$f(x)=|x|$ は $x=0$ で連続です。左からも右からも $0$ に着き、値も $0$ になる。

ところが傾きは一致しません。左側からの平均変化率は $-1$、右側からは $+1$ です。

$$\underset{h\to 0-0}{\lim }\frac{|h|}{h}=-1,\underset{h\to 0+0}{\lim }\frac{|h|}{h}=1$$

左右で違うので微分係数が存在しない。連続でも微分できない点がある、という例になります。

中間値の定理は連続が前提

閉区間で連続な関数は、両端の値のあいだのどの値も途中で必ずとります^[2]。

$f(x)=\frac{1}{x}$ を $[-1,1]$ で見ると、$f(-1)=-1$、$f(1)=1$ なのに、値が $0$ になる点はありません。

$x=0$ で切れているためです。跳びや無限の不連続点が 1 つあるだけで、この定理は使えなくなります。

分類も確かめます。

左から見た値と右から見た値、それに実際の値。この 3 つを並べれば、その点で何が起きているかが決まります。

参考