定積分の定義と計算

$y = f (x)$ の $a ≦ x ≦ b$ における定積分は

$F (b) - F (a)$

と定義されます． $F (x)$ は不定積分です．定積分を考えるときは区間が必要です．

種類	区間	実体
不定積分	ない	関数
定積分	ある	実数

定積分の計算

定積分は

不定積分を求める
区間の端を不定積分に代入する
差を求める

の順に計算します．例として $f (x) = x^{2} (1 ≦ x ≦ 3)$ の定積分 $S$ を求めます． $x^{2}$ の不定積分は

$F (x) = \frac{x ^{3}}{3} + C$

なので

$S &= \left( \frac{ 3^3 }{ 3 } + C \right) - \left( \frac{ 1^3 }{ 3 } + C \right) \\ &= \frac{ 3^3 }{ 3 } - \frac{ 1^3 }{ 3 } \\ &= 3 - \frac{ 1 }{ 3 } \\ &= \frac{ 26 }{ 3 }$

定積分は $\frac{26}{3}$ となります．