定積分の公式：定数倍、足し算と引き算

定数倍の定積分

$${\int }_a^{b}cf(x)dx=c{\int }_a^{b}f(x)dx$$

定積分の足し算と引き算

$$\begin{gathered} {\int }_a^b(f(x)+g(x))dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx \\ {\int }_a^b(f(x)-g(x))dx={\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{b}g(x)dx \end{gathered}$$

両端の交換

$${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$$

端の連結

$${\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx$$

定積分の公式を使った例題

\int_a^{b} \! -4x dx &= -4 \int_a^{b} \! x dx

\int_a^{b} \! (3x^2 - 4x + 5) dx &= \int_a^{b} \! 3x^2 dx + \int_a^{b} \! (-4x) dx + \int_a^{b} \! 5 dx \\ &= 3 \int_a^{b} \! x^2 dx - 4 \int_a^{b} \! x dx + 5 \int_a^{b} \! 1 dx