定積分の上端と下端の入れかえと符号〜端が同じなら 0

$\int_{2}^{2} (x^{2} + 1) d x$ は $0$ です。中身が何であっても、上端と下端が同じなら値は $0$ になる。

理由は定積分の定義にあります。 $f (x)$ の不定積分を $F (x)$ とすると、定積分は $F$ の差でした。

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

$b$ のところに $a$ を入れると $F (a) - F (a)$ です。同じものを引くので $0$ になる。

$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$

上端と下端を入れかえると符号が変わる

同じ定義から、もう 1 つの性質が読めます。 $\int_{b}^{a} f (x) d x$ のほうは $F (a) - F (b)$ 。

引き算の順が逆になっただけなので、もとの値に $- 1$ をかけたものになる。

$\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x$

$\int_{a}^{a}$ は入れかえても同じ式です。 $\int_{a}^{a} = - \int_{a}^{a}$ となるので、これをみたす値は $0$ しかない。さきほどの結果が、符号の性質からも読める。

$\int_{a}^{a} f (x) d x$	$0$
$\int_{b}^{a} f (x) d x$	$- \int_{a}^{b} f (x) d x$

例 1： $\int_{3}^{1} 2 x d x$

下端が $3$ 、上端が $1$ で、下端のほうが大きい形です。定義どおりに $F$ の差を計算する。

$\int_{3}^{1} 2 x d x = [x^{2}]_{3}^{1} = 1^{2} - 3^{2} = - 8$

向きをそろえた $\int_{1}^{3} 2 x d x$ は $9 - 1 = 8$ です。符号だけが違う。

区間を左から右へ読むか、右から左へ読むか。それだけで答えの符号が変わります。

面積とは切り離して考える

定積分を面積として習うと、この符号のところで詰まる。面積は $0$ 以上の量なので、 $- 8$ という値を面積とは呼べません。

定積分が面積と一致するのは、 $f (x) \geq 0$ で、なおかつ下端が上端より小さいときだけ。条件が外れれば、定積分は面積から離れる。

面積のイメージは目安として持っておき、値そのものは $F (b) - F (a)$ で決まると考える。そうすれば、上端と下端が入れかわっても迷いません。

面積

$0$ 以上。区間の幅と関数の値から決まり、向きという考え方がない

定積分

負にもなる。 $F (b) - F (a)$ で決まり、下端と上端のどちらが大きいかで符号が変わる

例 2：区間の分割が順序を問わなくなる

区間を途中で切って足す公式は、切る点が区間の中になくても成り立ちます。

$\int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x$

$F$ の差で書くと ${F (b) - F (a)} + {F (c) - F (b)}$ 。 $F (b)$ が消えて $F (c) - F (a)$ が残ります。

この計算に $a < b < c$ という条件は 1 度も使っていません。 $b$ が $a$ より小さくても、 $c$ より大きくても、同じように消える。

符号の入れかえを認めたおかげで、大小を確かめずに式を組めるようになりました。

例 3：定数を決めるのに使う

$\int_{a}^{x} f (t) d t = x^{2} + 3 x - 4$ をみたす $f (x)$ と定数 $a$ を求めます。

両辺を $x$ で微分すると、左辺は $f (x)$ になる。

$f (x) = 2 x + 3$

$a$ のほうは微分では決まりません。ここで $x = a$ を代入する。

左辺は $\int_{a}^{a} f (t) d t$ で $0$ 。右辺は $a^{2} + 3 a - 4$ です。

$a^{2} + 3 a - 4 (a + 4) (a - 1) = 0 = 0$

$a = 1$ と $a = - 4$ の 2 つが答えです。上端と下端をそろえて左辺を $0$ にする、というのがこの型の決め手になる。

$\int_{a}^{x} f (t) d t$ が $x$ の式に等しい、という形の問題では、 $x = a$ の代入が定数を決めます。

左辺が $0$ になるので、右辺の式に $a$ を入れたものを $0$ と置いた方程式ができる。

よくあるつまずき

$\int_{3}^{1}$ のように下端が大きい式を見て、上端と下端を勝手に入れかえてしまう誤りがあります。

入れかえるときは符号も変える。 $\int_{3}^{1} 2 x d x = - \int_{1}^{3} 2 x d x$ で、 $- 1$ をかけた形になります。

$\int_{5}^{5} (x^{3} - 2 x + 7) d x$ の値はどれですか。

$0$
$7$
$130$

__RESULT__

上端と下端が同じなので、中身を計算しなくても $0$ です。 $F (5) - F (5)$ という同じものの引き算になります。 $130$ は $\int_{0}^{5}$ を計算した値で、この問題では区間の幅が $0$ になる。

$\int_{1}^{4} g (x) d x = 6$ のとき、 $\int_{4}^{1} g (x) d x$ はどれですか。

$6$
$- 6$
$\frac{1}{6}$

__RESULT__

上端と下端が入れかわると符号が変わるため、 $- 6$ です。 $F (1) - F (4)$ は $F (4) - F (1)$ に $- 1$ をかけたものになります。逆数の $\frac{1}{6}$ にはなりません。

上端と下端が同じなら $0$ 、入れかわれば符号が変わる。どちらも $F (b) - F (a)$ という引き算の形から読めます。

$\int_2^2 (x^2+1)\,dx$ は中身によらず $0$ です。定積分は $F(b) - F(a)$ という引き算なので、上端と下端が同じなら同じものを引くことになる。入れかえた $\int_b^a$ は $F(a) - F(b)$ で、もとの値に $-1$ をかけた形。$\int_3^1 2x\,dx = -8$ のように負にもなるため、面積とは切り離して考える。区間の分割公式が大小を問わずに成り立つのも、この符号の決め方から。$\int_a^x f(t)\,dt$ が $x$ の式に等しい形の問題では、$x = a$ を入れて左辺を $0$ にすると定数が決まります。