端が同じ区間の定積分は 0 になる

端が同じ定積分は 0 になります．

$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$

これは $y = f (x)$ の不定積分を $F (x)$ として

$\int_a^{a} \! f(x) dx &= F(a) - F(a) \\ &= 0$

と証明されます．

定積分は区間における曲線と $x$ 軸にはさまれた領域の面積を意味します．両端が同じのとき，区間の長さは 0 になるため，関数の値にかかわらず面積は 0 になります．