端が同じ区間の定積分は 0 になる

端が同じ定積分は 0 になります．

$${\int }_a^{a}f(x)dx=0$$

これは $y=f(x)$ の不定積分を $F(x)$ として

\int_a^{a} \! f(x) dx &= F(a) - F(a) \\ &= 0

と証明されます．

定積分は区間における曲線と $x$ 軸にはさまれた領域の面積を意味します．両端が同じのとき，区間の長さは 0 になるため，関数の値にかかわらず面積は 0 になります．