定数の不定積分と積分定数 C、+C がないとどうなるか

$\int 3 d x = 3 x + C$ です。微分して $3$ になる関数は $3 x$ だけではなく、 $3 x + 5$ も $3 x - 2$ も同じ導関数を持つ。

定数は微分すると消えるため、候補が 1 つに絞れません。そこをまとめて書くために $+ C$ をつける。

微分すると定数が消える

$(3 x)^{'} = 3$ 、 $(3 x + 5)^{'} = 3$ 、 $(3 x - 2)^{'} = 3$ 。どれも導関数は同じ。

$5$ も $- 2$ も、微分すれば $0$ です。もとの定数が何だったかは、導関数を見ても分からない。

積分定数をつける

微分して $3$ になる関数が $3 x + C$ の形しかないことを見る。

$F^{'} (x) = 3$ と $G^{'} (x) = 3$ を満たす 2 つの関数をとり、 $H (x) = F (x) - G (x)$ と置く。

$H^{'} (x) = 3 - 3 = 0$

どの点でも接線の傾きが $0$ のグラフは、水平な直線しかありません。だから $H (x)$ は定数です。

$F$ と $G$ は定数だけ違う。この定数を $C$ と書き、積分定数といいます。 $F (x) = 3 x + C$ と書けば、微分して $3$ になる関数を残らず言い表せる。

例： $5$ 、 $0$ 、 $- 2$ の不定積分

定数 $k$ の不定積分は $k x + C$ です。 $k$ をそのまま前に置き、 $x$ をかけるだけ。

$\int 5 d x$	$5 x + C$
$\int 0 d x$	$C$
$\int (- 2) d x$	$- 2 x + C$
$\int \frac{1}{3} d x$	$\frac{1}{3} x + C$

$0$ の不定積分だけ形が違う。 $0$ を積分すると $0$ ではなく $C$ になる。微分して $0$ になる関数が、定数の全部だから。

1 点を通る条件で $C$ が決まる

$F^{'} (x) = 3$ だけでは $F$ が 1 つに決まりません。 $F (1) = 5$ という条件を足す。

$F (x) = 3 x + C$ に $x = 1$ を入れると $3 + C = 5$ で、 $C = 2$ 。答えは $F (x) = 3 x + 2$ です。

条件を 1 つ足すだけで、無数にあった候補が 1 本に決まる。

$d x$ がどの文字を変数と見るかを決める

$\int a d x$ の $d x$ は、 $x$ で積分するという指示です。 $a$ のほうは定数の扱い。

$\int a d x = a x + C$

同じ $a$ でも、 $\int a d a$ なら $a$ が変数です。今度は $1$ 次関数ではなく $2$ 次関数になる。

$\int a d a = \frac{1}{2} a^{2} + C$

文字が 2 種類あるときに見るのは、 $d$ のうしろ。

定積分では $C$ が消える

$\int_{1}^{4} 3 d x$ を計算します。原始関数を $3 x + C$ として、上端と下端を入れて引く。

$\int_{1}^{4} 3 d x = [3 x + C]_{1}^{4} = (12 + C) - (3 + C) = 9$

$C$ は引き算で打ち消し合う。だから定積分では積分定数を書きません。

値の $9$ は、高さ $3$ 、横 $4 - 1 = 3$ の長方形の面積と同じ。定数の定積分は、かけ算 1 回で求められます。

速さが一定の運動

速さ $3$ で進む点を考える。時刻 $x$ での位置は $3 x + C$ で、積分定数が出発点の位置にあたる。

時刻 $0$ を入れると位置は $C$ です。そこから $1$ 秒ごとに $3$ ずつ進むため、 $x$ 秒後は $3 x$ だけ先。

$1$ 秒から $4$ 秒までに進む距離は $9$ 。出発点がどこでも、進む距離は変わりません。

$F^{'} (x) = - 4$ と $F (2) = 1$ を満たす $F (x)$ はどれですか。

$- 4 x + 1$
$- 4 x + 9$
$- 4 x - 7$
$- 4 x + 3$

__RESULT__

$F (x) = - 4 x + C$ に $x = 2$ を入れると $- 8 + C = 1$ で、 $C = 9$ に決まります。 $- 4 x + 1$ は条件の $1$ をそのまま $C$ に置いた形で、 $x = 2$ では $- 7$ になります。

$C$ を書き落とすと

$\int 3 d x = 3 x$ と書くと、 $3 x + 5$ や $3 x - 2$ が抜け落ちる。

定積分なら引き算で消えるため、書き落としても答えは合う。不定積分では答えが 1 つに減ってしまう。

$F (1) = 5$ のような条件を足すときは、合わせる先の $C$ がありません。

$\int_{2}^{5} 4 d x$ の値はどれですか。

$12$
$20$
$3$
$4 x + C$

__RESULT__

原始関数を $4 x$ として $[4 x]_{2}^{5} = 20 - 8 = 12$ です。高さ $4$ 、横 $5 - 2 = 3$ の長方形と見ても同じ値になります。 $20$ は下端を引き忘れた形、 $3$ は横の長さだけを答えた形です。

定数を積分すると $1$ 次関数になり、その傾きがもとの定数、 $y$ 切片が積分定数です。定積分では切片が引き算で消えるため、 $C$ を書かずに済む。

$\int 3\,dx = 3x + C$ です。微分すると定数が消えるため、微分して $3$ になる関数は、$3x$ に定数を足したものが全部あてはまる。そこをまとめて書くために積分定数 $C$ をつけます。$C$ が違う直線は縦にずれているだけで、傾きはどれも $3$。$F(1) = 5$ のような条件を 1 つ足せば $C$ が決まり、候補が 1 本になります。定積分では上端と下端で $C$ が打ち消し合うため、書かずに済む。$\int a\,dx$ と $\int a\,da$ の違いまで。

定数の不定積分と積分定数 C、+C がないとどうなるか

微分すると定数が消える

積分定数をつける

例：5、0、−2 の不定積分

1 点を通る条件で C が決まる

dx がどの文字を変数と見るかを決める

定積分では C が消える