$\int 3\,dx = 3x + C$ です。微分すると定数が消えるため、微分して $3$ になる関数は、$3x$ に定数を足したものが全部あてはまる。そこをまとめて書くために積分定数 $C$ をつけます。$C$ が違う直線は縦にずれているだけで、傾きはどれも $3$。$F(1) = 5$ のような条件を 1 つ足せば $C$ が決まり、候補が 1 本になります。定積分では上端と下端で $C$ が打ち消し合うため、書かずに済む。$\int a\,dx$ と $\int a\,da$ の違いまで。