領域と最大・最小（線形計画法）

領域内で $a x + b y$ のような式の最大値・最小値を求める問題は、線形計画法と呼ばれます。大学入試でも頻出の重要テーマです。

基本的な考え方

$x + 2 y$ の値を $k$ とおくと、 $x + 2 y = k$ は傾き $- \frac{1}{2}$ の直線群を表します。

$k$ の値を変えると直線が平行移動します。領域と共有点をもつ範囲で $k$ を動かし、最大・最小となる位置を見つけます。

$a x + b y = k$ とおく

これを $y =$ の形に変形し、傾きを確認

直線を平行移動させ、領域と共有点をもつ限界を探す

限界の位置（頂点など）で $k$ の値を計算

連立不等式 $x \geq 0$ 、 $y \geq 0$ 、 $x + y \leq 4$ 、 $2 x + y \leq 6$ の表す領域において、 $x + 3 y$ の最大値と最小値を求めます。

まず領域を図示します。4つの不等式の共通部分は、4点 $(0, 0)$ 、 $(3, 0)$ 、 $(2, 2)$ 、 $(0, 4)$ を頂点とする四角形です。

$x + 3 y = k$ とおくと、 $y = - \frac{1}{3} x + \frac{k}{3}$ となり、傾きは $- \frac{1}{3}$ です。

最大値

直線を上に平行移動していくと、点 $(0, 4)$ で領域から外れる直前になります。このとき $k = 0 + 3 \cdot 4 = 12$ なので、最大値は 12 です。

最小値

直線を下に平行移動していくと、原点 $(0, 0)$ で領域から外れる直前になります。このとき $k = 0 + 0 = 0$ なので、最小値は 0 です。

領域が多角形のとき、 $a x + b y$ の最大・最小は必ず頂点で達成されます。

直線 $a x + b y = k$ を平行移動させると、領域と最後に交わる点（または最初に交わる点）は必ず頂点になるからです。内部の点では直線をさらに移動できるので、最大・最小にはなりません。

頂点は境界線の交点なので、2直線の連立方程式を解いて求めます。

上の例で $(2, 2)$ を求めるには、 $x + y = 4$ と $2 x + y = 6$ を連立します。

$2 x + y = 6, x + y = 4$

辺々引くと $x = 2$ 、代入して $y = 2$ です。

領域を図示し、頂点をすべて求める

各頂点で

a x + b y

の値を計算する

最大と最小を比較して答える

図形的な考察が苦手な場合は、この方法が確実です。頂点の数が多くても、計算すれば必ず答えが出ます。