軌跡の求め方

軌跡とは、ある条件を満たす点全体が描く図形のことです。軌跡を方程式で表すことで、その図形がどのような形になるかを知ることができます。

軌跡の基本的な考え方

軌跡を求める手順は次のようになります。

求める軌跡上の点を $(x, y)$ とおく

与えられた条件を式で表す

$x$ と $y$ の関係式を導く

逆にその式を満たす点が条件を満たすか確認

2点 $A (1, 0)$ 、 $B (5, 0)$ から等距離にある点 $P$ の軌跡を求めます。

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とおくと、 $P A = P B$ より

$(x - 1)^{2} + y^{2} = (x - 5)^{2} + y^{2}$

両辺を2乗して展開すると、

$(x - 1)^{2} + y^{2} = (x - 5)^{2} + y^{2}$

$x^{2} - 2 x + 1 = x^{2} - 10 x + 25$

$8 x = 24$

$x = 3$

よって軌跡は直線 $x = 3$ です。これは線分 $A B$ の垂直二等分線になっています。

点 $F (0, 1)$ と直線 $y = - 1$ から等距離にある点 $P$ の軌跡を求めます。

点 $P (x, y)$ から点 $F$ までの距離と、直線 $y = - 1$ までの距離が等しいので、

$x^{2} + (y - 1)^{2} = ∣ y + 1∣$

両辺を2乗すると、

$x^{2} + (y - 1)^{2} = (y + 1)^{2}$

$x^{2} + y^{2} - 2 y + 1 = y^{2} + 2 y + 1$

$x^{2} = 4 y$

よって軌跡は放物線 $y = \frac{x ^{2}}{4}$ です。

この軌跡の名前

点（焦点）と直線（準線）から等距離にある点の軌跡は放物線と呼ばれます。数学Ⅲの二次曲線で詳しく学びます。

逆の確認

$x^{2} = 4 y$ を満たす点が本当に条件を満たすか確認することも大切です。この場合、 $y \geq 0$ の範囲で条件を満たします。

点が別のパラメータ $t$ で動くとき、 $(x, y)$ を $t$ で表してから $t$ を消去する方法もあります。

例えば、直線 $y = 2 t$ と $y = - x + t$ の交点 $P$ の軌跡を求める場合、

2式から $2 t = - x + t$ より $t = - x$ です。これを $y = 2 t$ に代入すると $y = - 2 x$ となり、軌跡は直線 $y = - 2 x$ です。