2 直線が交わるか平行か垂直か、係数だけで見分ける｜数学Ⅱ 図形と方程式

2 直線の関係は、式を解かなくても係数を見比べるだけで分かります。交わるか、平行か、重なっているか。この 3 つを分けるのは 1 つの値です。

$ℓ_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ 、 $ℓ_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ と置いて、 $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ を作ります。これが $0$ かどうかで話が二手に分かれる^[4]。

傾きが等しいかどうかが分かれ目

まず傾きで考えます。 $y = m_{1} x + k_{1}$ と $y = m_{2} x + k_{2}$ の 2 本があるとします。

$m_{1} \neq = m_{2}$ なら 1 点で交わります。 $m_{1} = m_{2}$ なら平行で、切片まで一致すれば同じ直線^[2]。

$m_{1} \neq = m_{2} ⟹ 1 点で交わる$

傾きで話が済むなら一般形は要らないように見えます。ところが $y$ 軸に平行な直線は $y = m x + k$ の形に書けないので、傾きだけでは全部を扱えません。

3 つの場合を図で見る

起こりうる形は 3 通りです。共有点が 1 個、0 個、無限個のどれかになります。

左から順に、交わる場合、平行な場合、一致する場合です。下に書いた数が共有点の個数にあたります。

一致は平行の特別な場合として扱う流儀と、別立てにする流儀があります。高校の問題文では「平行」と言われたら一致を除く場合がほとんど。

一般形の係数だけで判定する

$y$ 軸に平行な直線も込みで扱うには、一般形のまま比べます。判定に使うのは次の値です。

$Δ = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$

$Δ \neq = 0$ なら 1 点で交わり、 $Δ = 0$ なら平行か一致です^[4]。 $Δ$ は 2 本の法線ベクトル $(a_{1}, b_{1})$ と $(a_{2}, b_{2})$ が平行かどうかを見ている量になります。

Δ \neq = 0

法線が平行でない。2 直線は 1 点で交わり、交点の座標は 1 通りに決まる

Δ = 0

法線が平行。2 直線は平行か一致で、共有点は 0 個か無限個

平行と一致の区別には $c$ も要ります。 $a_{1} b_{2} = a_{2} b_{1}$ のもとで $b_{1} c_{2} = b_{2} c_{1}$ まで成り立てば一致、成り立たなければ平行です。

判定式は連立方程式の分母

$Δ$ の正体は連立 1 次方程式の分母です。2 本の式を解くと交点が次の形で出ます^[4]。

$x = \frac{b _{1} c _{2} - b _{2} c _{1}}{a _{1} b _{2} - a _{2} b _{1}}, y = \frac{c _{1} a _{2} - c _{2} a _{1}}{a _{1} b _{2} - a _{2} b _{1}}$

分母が $0$ なら解が定まらない。この「定まらない」が、幾何では平行と一致の 2 つに分かれます。

公式として覚える必要はありません。実際の問題では代入法か加減法で解くほうが速い。 $Δ$ の意味だけつかんでおけば十分です。

例 1：交点を求める

$3 x - 2 y - 5 = 0$ と $x + 4 y - 11 = 0$ の交点を求めます。

$Δ = 3 \cdot 4 - 1 \cdot (- 2) = 14$ で $0$ ではないので、交点は 1 つです。

第 2 式を $x = 11 - 4 y$ として第 1 式に代入します。

$3 (11 - 4 y) - 2 y - 5 = 0 ⟹ 28 - 14 y = 0 ⟹ y = 2$

$x = 11 - 8 = 3$ なので、交点は $(3, 2)$ です。両方の式に入れて $0$ になることを確かめておく。

例 2：平行になる定数を求める

$2 x + 3 y - 1 = 0$ と $a x - 6 y + 5 = 0$ が平行になる $a$ を求めます。

平行の条件は $Δ = 0$ なので、 $2 \cdot (- 6) - a \cdot 3 = 0$ から $a = - 4$ です。

このとき 2 本は $2 x + 3 y - 1 = 0$ と $- 4 x - 6 y + 5 = 0$ になります。後者を $- 2$ で割ると $2 x + 3 y - \frac{5}{2} = 0$ で、定数項だけが違う。一致ではなく平行だと確かめられました。

一致と平行はどこが違うか

一致とは、係数の 3 つ組が丸ごと比例している状態です。 $(a_{1}, b_{1}, c_{1})$ と $(a_{2}, b_{2}, c_{2})$ が定数倍の関係にある^[3]。

平行は、はじめの 2 つだけが比例していて $c$ が外れている状態。式で書くと次のようになります。

交わる

$a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq = 0$ 。共有点は 1 個です。

平行

$a_{1} : b_{1} = a_{2} : b_{2}$ だが $c$ の比が違う。共有点はありません。

一致

$a_{1} : b_{1} : c_{1} = a_{2} : b_{2} : c_{2}$ 。同じ直線を 2 通りに書いただけ。

比が使えるのは $0$ が混じらないときに限られます。 $b_{1} = 0$ のような場合は比の形を避け、積の形 $a_{1} b_{2} = a_{2} b_{1}$ で書いておくほうが安全です。

例 3：一致するかどうかを見る

$4 x - 6 y + 2 = 0$ と $- 2 x + 3 y - 1 = 0$ を比べます。

$Δ = 4 \cdot 3 - (- 2) \cdot (- 6) = 12 - 12 = 0$ なので、平行か一致のどちらか。

第 1 式を $- 2$ で割ると $- 2 x + 3 y - 1 = 0$ となり、第 2 式そのものです。したがって 2 本は一致し、共有点は無限にあります。

連立方程式として解くと $0 = 0$ という恒等式が残る。この形が出たら一致だと判断できます。

垂直の条件

傾きが両方とも存在するとき、垂直の条件は積が $- 1$ です^[1]^[3]。

$m_{1} m_{2} = - 1$

なぜ $- 1$ なのかは、直線を $9 0^{\circ}$ 回すと傾きがどう変わるかを見れば分かります。傾き $m$ の方向ベクトルは $(1, m)$ で、これを $9 0^{\circ}$ 回すと $(- m, 1)$ になる。

回した先の傾きは $\frac{1}{- m} = - \frac{1}{m}$ です。もとの $m$ と掛ければ $- 1$ になります。

傾きの積が $- 1$ になるところを見る

一方の直線を回してみると、積の値が $- 1$ を通り過ぎる瞬間があります。そこが直交する向きです。

積が $- 1$ に届いた瞬間だけ、動く直線の色が変わります。それ以外の角度では、どれだけ近くても直交していません。

$m_{1} = 0$ の場合、つまり水平な直線には、この積の条件が使えない。相手は垂直な直線で、傾きが存在しないからです。

内積で書くと 1 行で済む

例外を作らない書き方が一般形です。法線ベクトル $(a_{1}, b_{1})$ と $(a_{2}, b_{2})$ の内積をとります^[3]。

$a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$

これが垂直の条件です。傾きが存在しない直線でも同じ式が働くので、場合分けが要らなくなります。

方向ベクトルで書いても同じことです。 $(b_{1}, - a_{1})$ と $(b_{2}, - a_{2})$ の内積も $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}$ になる^[2]。

$x = 3$ のような直線には傾きがありません。それでも法線ベクトル $(1, 0)$ は書けるので、内積の条件はそのまま使えます。

一般形 $a x + b y + c = 0$ の係数から作るベクトルで、直線に垂直な向きを指す。

例 4：垂直な直線を作る

点 $(2, - 1)$ を通り、 $3 x + 4 y - 7 = 0$ に垂直な直線を求めます。

もとの直線の法線は $(3, 4)$ です。求める直線はこれに垂直なので、法線として $(4, - 3)$ がとれます。

$4 (x - 2) - 3 (y + 1) = 0 ⟹ 4 x - 3 y - 11 = 0$

内積で確かめると $3 \cdot 4 + 4 \cdot (- 3) = 0$ です。傾きで解くなら $- \frac{3}{4}$ の逆数の符号を変えて $\frac{4}{3}$ を使いますが、係数の入れ替えのほうが速い。

例 5：垂線の足を求める

点 $P (5, 6)$ から直線 $x - 2 y + 4 = 0$ に下ろした垂線の足を求めます。

垂線は法線 $(1, - 2)$ の向きに進む直線なので、 $P$ を通る垂線は $2 x + y - 16 = 0$ です。

2 本を連立します。 $x = 2 y - 4$ を代入すると $2 (2 y - 4) + y - 16 = 0$ から $y = \frac{24}{5}$ 、続いて $x = \frac{28}{5}$ 。

垂線の足は $(\frac{28}{5}, \frac{24}{5})$ です。 $P$ からこの点へ向かうベクトルは $(\frac{3}{5}, - \frac{6}{5})$ で、法線 $(1, - 2)$ のちょうど $\frac{3}{5}$ 倍。向きがそろっているので、計算が合っていると確かめられます。

$y$ 軸に平行な直線という例外

$x = k$ の形の直線は傾きを持ちません。傾きで場合分けする解き方では、ここだけ別扱いになります。

傾きで判定する

$y$ 軸に平行な直線で破れる

一般形の係数で判定する

一般形なら $x - k = 0$ と書けて、 $(a, b) = (1, 0)$ です。判定式にも内積の条件にもそのまま入る。

問題文が $y = m x + k$ を前提にしているときは、 $x = k$ の可能性を最初に確かめてから傾きの議論に入ります。

2 直線のなす角

交わる 2 直線は 2 種類の角を作ります。ふつうは鋭角のほうを「なす角」と呼びます。

傾きを使うと、 $tan$ の加法定理から次の式が出ます。

$tan θ = \frac{m _{2} - m _{1}}{1 + m _{1} m _{2}}$

分母が $0$ になるのは $m_{1} m_{2} = - 1$ 、つまり直交するときです。 $tan θ$ が定義されない状況が $9 0^{\circ}$ に対応している。

塗った扇形が $θ$ です。角度が $90$ 度に近づくと $1 + m_{1} m_{2}$ が $0$ に近づき、 $tan θ$ の値が急に大きくなります。

例 6：なす角を求める

$y = x$ と $y = (2 + 3) x$ のなす角を求めます。

$m_{1} = 1$ 、 $m_{2} = 2 + 3$ を代入します。

$tan θ = \frac{( 2 + 3 ) - 1}{1 + ( 2 + 3 )} = \frac{1 + 3}{3 + 3}$

分母を $3$ でくくると $3 (3 + 1)$ になるので、値は $\frac{1}{3}$ です。したがって $θ = 3 0^{\circ}$ になります。

$y = x$ が $4 5^{\circ}$ 、 $y = (2 + 3) x$ が $7 5^{\circ}$ の傾きなので、差が $3 0^{\circ}$ 。傾きの角度からも合っています。

平行な 2 直線の距離

平行な 2 本の距離は、片方の上の点をもう一方までの距離で測ります。 $a x + b y + c_{1} = 0$ と $a x + b y + c_{2} = 0$ なら次のとおり^[5]。

$d = \frac{∣ c _{1} - c _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$

係数 $a$ と $b$ をそろえてから引く、というところが要点です。そろえずに定数項だけ比べると値が合いません。

例 7：平行線の間の距離

$3 x - 4 y + 2 = 0$ と $6 x - 8 y - 5 = 0$ の距離を求めます。

第 2 式を $2$ で割って $3 x - 4 y - \frac{5}{2} = 0$ とします。これで $a$ と $b$ がそろいました。

$d = \frac{2 - ( - \frac{5}{2} )}{9 + 16} = \frac{9/2}{5} = \frac{9}{10}$

答えは $\frac{9}{10}$ です。割り算を忘れて $∣2 - (- 5) ∣/5$ とすると $\frac{7}{5}$ になり、まったく違う値が出ます。

例 8：3 直線が 1 点で交わる条件

$x + y - 3 = 0$ 、 $2 x - y - 3 = 0$ 、 $a x + 3 y - 5 = 0$ が 1 点で交わる $a$ を求めます。

はじめの 2 本の交点を出します。辺々足すと $3 x - 6 = 0$ から $x = 2$ 、続いて $y = 1$ 。

この点を第 3 式に入れます。

$2 a + 3 - 5 = 0 ⟹ a = 1$

3 本のうち 2 本の交点を先に求め、残りがそこを通るかを見る。これが定石です。

$a x + 3 y - 1 = 0$ と $2 x - 6 y + 5 = 0$ が垂直になる $a$ はどれですか。

$a = 9$
$a = - 9$
$a = - 1$
$a = \frac{1}{9}$

__RESULT__

垂直の条件は法線 $(a, 3)$ と $(2, - 6)$ の内積が $0$ になることです。 $2 a + 3 \cdot (- 6) = 2 a - 18 = 0$ から $a = 9$ が出ます。 $a = - 1$ は判定式 $a \cdot (- 6) - 2 \cdot 3 = 0$ を満たす値で、こちらは平行になる場合。

垂直の判定は内積、平行の判定は判定式。この 2 本立てで覚えておくと、傾きが存在しない場合でも迷いません。

よくある誤り

平行の条件を

m_{1} = m_{2}

だけで済ませる。一致する場合が混ざります。

y

軸に平行な直線を忘れる。傾きで場合分けするときは最初に確かめます。

垂直の条件を

m_{1} m_{2} = 1

と覚える。正しくは

- 1

です。

一般形の垂直条件を

a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2} = 0

と書く。符号は両方とも正で足します。

平行線の距離で係数をそろえない。

a

と

b

を一致させてから定数項を引きます。

なす角で鈍角のほうを答える。ふつうは鋭角を答えるので絶対値を付けます。

判定式が

0

のときに一致と平行を区別しない。定数項まで比例するかを見ます。

3 直線の問題で 3 本を一度に連立する。2 本の交点を先に出すほうが速い。

係数だけを見る習慣がつくと、図を描かなくても関係が読めるようになります。

参考文献

Équation de droite

Gerade

直线

Line–line intersection

Distance from a point to a line

2 直線の関係は、連立方程式を解く前に係数だけで決まります。$a_1 b_2 - a_2 b_1$ が $0$ でなければ 1 点で交わり、$0$ なら平行か一致。区別するのは定数項まで比例しているかどうか。垂直の判定を傾きの積ではなく法線の内積で書くと、$y$ 軸に平行な直線でも例外が出ない。なす角、垂線の足、平行線どうしの距離、3 直線が 1 点で交わる条件まで、動く図と計算例で確かめます。