円の接線の方程式（円上の点と円外の点で手順が変わる）

円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線は、円の式の $x^{2}$ を $x_{1} x$ に、 $y^{2}$ を $y_{1} y$ に置き換えるだけで出ます。

$x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$

$x^{2}$ を $x \cdot x$ と読み、片方だけ接点の座標にとり替えた形です。円 $x^{2} + y^{2} = 25$ 上の点 $(3, 4)$ なら $3 x + 4 y = 25$ 。

置き換えという言い方は覚えやすいのですが、なぜそれでよいかは半径と接線の関係から出ます。

接線は半径に垂直

接点を $P (x_{1}, y_{1})$ 、中心を $O$ とします。接線は $P$ で円に触れて離れるので、 $O P$ と垂直です。

$O P$ の向きは $(x_{1}, y_{1})$ 。この向きに垂直な直線は、法線ベクトルが $(x_{1}, y_{1})$ の直線として書けます。

$x_{1} (x - x_{1}) + y_{1} (y - y_{1}) = 0$

展開すると $x_{1} x + y_{1} y = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}$ で、 $P$ は円上にあるので右辺は $r^{2}$ です。置き換えの形が出ました。

接点が円周を回っても、半径と接線の直角は崩れません。小さな四角がその直角です。

接線の向きは接点ごとに変わりますが、法線ベクトルはいつも $O P$ 。だから接点の座標がそのまま式の係数になります。

中心が原点でない場合

中心が $(a, b)$ のときも、同じ導出がそのまま通ります。 $O P$ の向きが $(x_{1} - a, y_{1} - b)$ になるだけ。

$(x_{1} - a) (x - a) + (y_{1} - b) (y - b) = r^{2}$

原点のときの式で、 $x$ を $x - a$ に、 $y$ を $y - b$ に置き換えた形です。平行移動の書き換えと同じ規則になっています。

円 $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ 上の点 $(4, 2)$ での接線を出します。

$(4 - 1) (x - 1) + (2 + 2) (y + 2) = 25, 3 x + 4 y = 20$

接点が式を満たすか確かめます。 $3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 = 20$ で成立。接点が接線の上に乗っているのは当然ですが、符号ミスの検出に使えます。

例：円上の点での接線

$x^{2} + y^{2} = 25$ 、点 $(3, 4)$	$3 x + 4 y = 25$
$x^{2} + y^{2} = 10$ 、点 $(1, 3)$	$x + 3 y = 10$
$x^{2} + y^{2} = 4$ 、点 $(0, - 2)$	$- 2 y = 4$ 、つまり $y = - 2$
$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ 、点 $(5, 1)$	$3 (x - 2) = 9$ 、つまり $x = 5$

下 $2$ つは接線が座標軸に平行になる場合です。式に当てはめれば自動的にこの形が出るので、場合分けは要りません。

傾きから接線を作る

接点ではなく傾きが与えられることもあります。このときは接線を $y = m x + k$ と置き、中心からの距離が半径に等しい条件を書きます。

円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ と直線 $m x - y + k = 0$ で、中心 $(0, 0)$ からの距離を出します。

$\frac{∣ k ∣}{m ^{2} + 1} = r, k = \pm r m^{2} + 1$

同じ傾きの接線は $2$ 本あります。円をはさんで反対側に $1$ 本ずつ。

円 $x^{2} + y^{2} = 4$ で傾き $1$ の接線なら $k = \pm 22$ です。

$y = x + 22, y = x - 22$

円外の点から引く接線

点 $A (p, q)$ が円の外にあるとき、 $A$ から接線が $2$ 本引けます。接点を $(x_{1}, y_{1})$ と置いて条件を $2$ つ立てます。

接点は円上にある。

x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = r^{2}

接線

x_{1} x + y_{1} y = r^{2}

が

A

を通る。

p x_{1} + q y_{1} = r^{2}

$2$ 番目の式をよく見ます。 $x_{1}$ と $y_{1}$ についての一次式で、これは接点が直線 $p x + q y = r^{2}$ の上にあることを意味します。

つまり $2$ つの接点は、この $1$ 本の直線の上に並んでいる。 $2$ 接点を結ぶ弦が、はじめから式で書けてしまいます。

緑の線が $2$ 接点を結ぶ弦です。この弦の方程式が $p x + q y = r^{2}$ で、接点の座標を求める前に書けています。

形を見比べると、円上の点での接線の式とまったく同じです。点が円の上にあれば接線、外にあれば $2$ 接点を結ぶ弦になる。同じ式が、点の位置で役割を変えています。

例：円外の点から引く接線を求める

点 $A (5, 0)$ から円 $x^{2} + y^{2} = 9$ に引く接線を求めます。

まず $2$ 接点を結ぶ弦の式を書きます。 $p = 5$ 、 $q = 0$ 、 $r^{2} = 9$ です。

$5 x = 9, x = \frac{9}{5}$

接点はこの直線と円の交点なので、 $x = \frac{9}{5}$ を円の式へ代入します。

$\frac{81}{25} + y^{2} = 9, y^{2} = \frac{144}{25}, y = \pm \frac{12}{5}$

接点は $(\frac{9}{5}, \frac{12}{5})$ と $(\frac{9}{5}, - \frac{12}{5})$ 。それぞれ接線の式に入れます。

$\frac{9}{5} x + \frac{12}{5} y = 9, \frac{9}{5} x - \frac{12}{5} y = 9$

$5$ を掛けて $3$ で割ると、 $3 x + 4 y = 15$ と $3 x - 4 y = 15$ になります。

傾きで置くと 1 本落ちることがある

接線を $y = m (x - p) + q$ と置いて距離の条件から $m$ を出す方法もあります。ただし、この置き方では $y$ 軸に平行な直線が表せません。

点 $A (3, 5)$ から円 $x^{2} + y^{2} = 9$ に引く接線で試します。直線 $x = 3$ は $A$ を通り、点 $(3, 0)$ で円に接しています。傾きでは書けない $1$ 本です。

弦の式なら両方とも出ます。 $3 x + 5 y = 9$ と円の式を連立します。

$17 x^{2} - 27 x - 72 = 0, (x - 3) (17 x + 24) = 0$

$x = 3$ から接点 $(3, 0)$ 、 $x = - \frac{24}{17}$ から接点 $(- \frac{24}{17}, \frac{45}{17})$ です。

接線はそれぞれ $3 x = 9$ 、つまり $x = 3$ と、 $- 24 x + 45 y = 153$ を整理した $8 x - 15 y + 51 = 0$ になります。

傾きで置く方法を使うなら、 $y$ 軸に平行な接線があるかどうかを別に調べる。弦の式から入れば、その手間が要りません。

接線の本数は点の位置で決まる

点 $A$ と中心の距離を $O A$ とします。

O A < r

（内部）

接線は $1$ 本も引けません。 $A$ を通る直線はどれも円を $2$ 点で切ります。

O A = r

（円上）

接線は $1$ 本だけ。 $A$ を接点とする接線です。

O A > r

（外部）

接線は $2$ 本。 $O A$ を軸として対称な位置に接点ができます。

外部の点から引いた $2$ 本は、長さが等しくなります。中心と接点と $A$ で直角三角形ができ、 $2$ つの三角形が合同になるためです。

接線の長さ

$A$ から接点までの長さを接線の長さといいます。直角三角形の三平方から出ます。

$ℓ = O A^{2} - r^{2}$

点 $A (5, 0)$ と円 $x^{2} + y^{2} = 9$ なら $O A = 5$ 、 $r = 3$ なので $ℓ = 25 - 9 = 4$ です。

さきほど求めた接点 $(\frac{9}{5}, \frac{12}{5})$ との距離を計算しても $4$ になります。接点を求めずに長さだけ欲しいときは、この式で足ります。

根号の中が負なら、点が円の内部にあるということ。接線が引けないことが式にも表れます。

円 $x^{2} + y^{2} = 20$ 上の点 $(2, 4)$ における接線はどれですか。

$x + 2 y = 20$
$x + 2 y = 10$
$2 x + 4 y = 40$
$4 x + 2 y = 20$

__RESULT__

置き換えの式から $2 x + 4 y = 20$ で、両辺を $2$ で割ると $x + 2 y = 10$ です。接点を代入すると $2 + 8 = 10$ で成り立ちます。

傾きを未知数にする別解

さきほどの点 $A (5, 0)$ からの接線を、傾きだけで解いてみます。接線は $A$ を通るので $y = m (x - 5)$ と置けます。

$m x - y - 5 m = 0$ の形に直し、中心 $(0, 0)$ からの距離が $3$ になる条件を書きます。

$\frac{∣ - 5 m ∣}{m ^{2} + 1} = 3, 25 m^{2} = 9 (m^{2} + 1)$

$16 m^{2} = 9$ より $m = \pm \frac{3}{4}$ です。接線は $y = \pm \frac{3}{4} (x - 5)$ 、整理すると $3 x - 4 y = 15$ と $3 x + 4 y = 15$ 。

弦の式から解いた結果と一致しました。この問題では $y$ 軸に平行な接線がないので、傾きで置いても $2$ 本とも出ます。

未知数が $m$ の $1$ つで済むぶん、こちらのほうが計算は短くなります。 $y$ 軸に平行な接線がないと確かめられるなら、選んでよい道です。

例：接線が座標軸から切りとる三角形

円 $x^{2} + y^{2} = 25$ 上の点 $(3, 4)$ での接線 $3 x + 4 y = 25$ が、座標軸と作る三角形の面積を求めます。

$y = 0$ を入れると $x = \frac{25}{3}$ 、 $x = 0$ を入れると $y = \frac{25}{4}$ 。これが $2$ つの切片です。

直角三角形なので、面積は $2$ 辺の積の半分になります。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{25}{3} \cdot \frac{25}{4} = \frac{625}{24}$

接点を動かすとこの面積も変わります。接点が軸に近づくほど、片方の切片が遠くへ飛んでいくので面積は大きくなる。

例：2 本の接線のなす角

点 $A (5, 0)$ から引いた $2$ 本の接線 $3 x - 4 y = 15$ と $3 x + 4 y = 15$ のなす角を調べます。

傾きはそれぞれ $\frac{3}{4}$ と $- \frac{3}{4}$ です。 $2$ 直線のなす角の正接は、傾きから出ます。

$tan θ = \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} m _{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{24}{7}$

$tan θ = \frac{24}{7}$ です。角そのものは $70$ 度あまり。

接点と中心と $A$ で作る直角三角形からも読めます。 $A$ での角の半分の正弦が $\frac{r}{O A} = \frac{3}{5}$ なので、そこから同じ値に行き着きます。

$A$ が円から遠いほど、 $2$ 本の接線は平行に近づきます。近づけば開いていき、円周上に乗った瞬間に $2$ 本が $1$ 本へ重なる。

接する条件から円を決める

接線が先に与えられ、円を求める形もあります。中心から接線までの距離が半径に等しい、という条件を書きます。

中心が $(3, 1)$ で、直線 $3 x + 4 y - 2 = 0$ に接する円を求めます。

$r = \frac{∣3 \cdot 3 + 4 \cdot 1 - 2∣}{9 + 16} = \frac{11}{5}$

円の方程式は $(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = \frac{121}{25}$ です。

中心が直線上を動く場合は、中心を文字で置いてから同じ条件を立てます。接する条件は距離の等式なので、未知数が $1$ つなら $1$ 本の式で決まります。

接点が分かっているなら置き換えの式を書く

傾きが分かっているなら距離が半径に等しいと置く

円外の点からなら $p x + q y = r^{2}$ で接点を出す

接点を接線の式へ戻す

よくある誤り

置き換えの式で

x^{2}

を

x_{1}^{2}

にする。とり替えるのは片方だけで、

x_{1} x

です

中心が原点でないのに

x_{1} x + y_{1} y = r^{2}

を使う。

x - a

と

y - b

に置き換えた式が要ります

円外の点の座標を、そのまま接線の式に入れる。入れるのは接点の座標です

p x + q y = r^{2}

を接線だと思う。点が外にあるときは

2

接点を結ぶ弦です

傾きで置いて

y

軸に平行な接線を落とす。本数が合わなければこれを疑います

接線の長さを

O A^{2} + r^{2}

と書く。引き算です

内部の点から接線を引こうとする。

O A < r

なら

1

本もありません

接点を求めたあと、接線の式に戻し忘れる。問われているのは直線の方程式です

参考文献

Circle

Pole and polar

Kreis (Geometrie))

Fonction du second degré

圓

$x^2$ を $x_1x$ にとり替えるだけ、という覚え方の裏には、半径と接線が垂直だという事実があります。法線ベクトルが $\overrightarrow{OP}$ になるので、接点の座標がそのまま係数になる。円外の点から引く場合は、同じ形の式が $2$ 接点を結ぶ弦を表します。この弦から入れば $y$ 軸に平行な接線も落ちません。傾きで置く別解、接線の長さ、接線の本数が点の位置で決まる仕組み、$2$ 本のなす角まで。