円の接線の方程式

円の接線は入試でも頻出のテーマです。接点が円上にある場合と、円外の点から引く場合で公式が異なります。

円上の点における接線

円 $x^2+y^2=r^2$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線の方程式は次のようになります。

$$x_{1}x+y_{1}y=r^2$$

元の円の方程式 $x\cdot x+y\cdot y=r^2$ の一方の $x$ を $x_1$ に、一方の $y$ を $y_1$ に置き換えた形になっています。

中心が原点でない場合

円 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線は次のようになります。

$$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$$

円外の点から引く接線

円外の点 $(p,q)$ から円に引いた接線を求める場合は、接点を $(x_1,y_1)$ とおいて条件を立てます。

円 $x^2+y^2=r^2$ に対して、点 $(p,q)$ から引く接線を考えます。

この2つの条件から接点を求め、接線の方程式を導きます。

具体例（円外からの接線）

点 $(5,0)$ から円 $x^2+y^2=9$ に引く接線を求めます。

接点を $(x_1,y_1)$ とすると、

$$x_1^2+y_1^2=9,5x_1=9$$

$x_1=\frac{9}{5}$ を円の式に代入すると、

$$\frac{81}{25}+y_1^2=9$$

$$y_1^2=9-\frac{81}{25}=\frac{144}{25}$$

$$y_1=\pm \frac{12}{5}$$

よって接点は $\left(\frac{9}{5},\frac{12}{5}\right)$ と $\left(\frac{9}{5},-\frac{12}{5}\right)$ です。

接線はそれぞれ $\frac{9}{5}x+\frac{12}{5}y=9$、$\frac{9}{5}x-\frac{12}{5}y=9$ となり、整理すると $3x+4y=15$、$3x-4y=15$ です。