不等式が表す領域 - 境界線のどちら側かを代入で決める

方程式が線を表すのに対して、不等式は面を表します。$2x+y-4=0$ は $1$ 本の直線ですが、$2x+y-4>0$ はその片側全体です。

どちら側かを決めるのは簡単で、境界に乗っていない点を $1$ つ選んで代入するだけ。値が正ならその点を含む側、負なら反対側になります。

選ぶ点は原点が手軽です。境界が原点を通っているときだけ、別の点に替えます。

直線をまたぐと符号が変わる

$f(x,y)=2x+y-4$ とします。境界の上では $f=0$、片側では正、もう片側では負。

境界を横切るときに $f$ は $0$ を通るので、そこで符号が入れ替わります。同じ側にいるあいだは符号が変わりません。

点が直線を横切るたびに、値の符号と色が変わります。境界の上でちょうど $0$。

橙の側が $2x+y-4>0$、青の側が $<0$ です。原点は青い側にあるので、原点を代入すると負になります。

$$2\cdot 0+0-4=-4<0$$

したがって $2x+y-4>0$ の表す領域は、原点を含まない側になります。

$y$ について解ける形なら上下で読める

$y$ について解いた形にすると、代入せずに判定できます。$2x+y-4>0$ を $y$ について解きます。

$$y>-2x+4$$

同じ $x$ に対して、境界より $y$ が大きい点の集まり。つまり直線の上側です。

$y$ の係数が負のときは、割ったときに不等号が反転します。$2x-y-4>0$ なら $y<2x-4$ となり、下側になる。

代入して確かめる方法なら、この反転を気にせずに済みます。どちらでも同じ答えに着くので、確実なほうを選べば足ります。

境界を含むかどうか

$\ge$ や $\le$ なら境界の線も領域に入ります。$>$ や $<$ なら入りません。

図示するときは、含むなら実線、含まないなら破線で境界を描きます。塗り分けだけでは伝わらないので、線の種類で示す決まりになっています。

例：直線による領域

$x-3y+6\ge 0$ の表す領域を求めます。境界は $x-3y+6=0$、つまり $y=\frac{x+6}{3}$ です。

原点を代入すると $0-0+6=6>0$。原点を含む側が答えになります。

$y$ について解いても確かめられます。$-3y\ge -x-6$ の両辺を $-3$ で割ると不等号が反転して $y\le \frac{x+6}{3}$。直線の下側で、原点はそこに入ります。

境界は $\ge$ なので実線。領域は「直線 $y=\frac{x+6}{3}$ とその下側」です。

円による領域

円の方程式も、等号を不等号に変えると領域になります。

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2<r^2$$

左辺は中心からの距離の $2$ 乗です。それが $r^2$ より小さいとは、中心からの距離が $r$ より近いということ。つまり円の内部。

$>r^2$ なら外部です。中心を代入すれば $0$ になるので、中心は必ず内部側に入ります。判定に迷ったら中心を使う。

左が内部、右が外部です。境界の円は破線なので、どちらにも入っていません。

$\le$ や $\ge$ なら実線になり、円周上の点も領域に入ります。円周は内部と外部の境目なので、どちらか一方にしか属せません。

放物線による領域

境界が曲線でも考え方は同じです。$y>x^2-2x$ なら、放物線 $y=x^2-2x$ より上側。

原点で確かめます。$0>0-0$ は成り立たないので、原点は領域に入りません。原点は放物線の上にあるので、境界そのものだったわけです。

$(1,3)$ で試すと $3>1-2=-1$ で成立。この点は放物線の内側にあり、確かに上側です。

連立した領域は共通部分

複数の不等式を同時に満たす領域は、それぞれの領域の重なりになります。

$x\ge 0$、$y\ge 0$、$x+y\le 3$ を同時に満たす領域を求めます。

$3$ つが重なるのは、$(0,0)$、$(3,0)$、$(0,3)$ を頂点とする三角形の内部と周です。

$3$ 本の境界がすべて実線なので、周も領域に含まれます。頂点の $3$ 点も入る。

不等式が $1$ つ増えるたびに領域は狭くなります。$4$ 本、$5$ 本と重ねれば、多角形の内部として囲われていく。

例：曲線どうしにはさまれた領域

$y\ge x^2$ かつ $y\le x+2$ の表す領域を求めます。放物線の上側で、直線の下側。

境界の交点を出します。$x^2=x+2$ を解きます。

$$x^2-x-2=0,(x-2)(x+1)=0$$

$x=-1,2$ です。交点は $(-1,1)$ と $(2,4)$。

領域はこの $2$ 点にはさまれた部分で、下が放物線、上が直線の木の葉のような形になります。$-1\le x\le 2$ の範囲だけに広がる。

$x$ の範囲が自然に決まるところがこの型の特徴です。放物線が直線を追い越す位置が、そのまま領域の左右の端になります。

「または」でつなぐと合併になる

連立が重なりなら、「または」は合わせた形です。どちらか一方を満たせば領域に入ります。

$x^2+y^2\le 1$ または $x^2+y^2\ge 4$ なら、半径 $1$ の円板と、半径 $2$ の円の外側。あいだのドーナツ状の部分だけが抜けます。

問題文が「かつ」なのか「または」なのかで、答えの図がまったく変わる。連立と書いてあれば「かつ」です。

積の形は符号の組み合わせ

$(x-y)(x+y)>0$ のような形は、$2$ つの因数の符号で場合分けします。積が正になるのは、両方正か両方負のとき。

$1$ 番目は $2$ 直線 $y=x$ と $y=-x$ が作る $4$ つの区画のうち、右側の区画。$2$ 番目は左側の区画です。

答えは左右 $2$ つの区画を合わせた領域になります。上下の $2$ つは、積が負になるので入りません。

積が $0$ より小さい場合は、符号違いの組み合わせなので上下が答えです。因数が $3$ つ以上になっても、同じ数え方で決まります。

絶対値を含む領域

$|x|+|y|\le 1$ を図示します。絶対値は場合分けで外します。

$x\ge 0$ かつ $y\ge 0$ の範囲では $x+y\le 1$。$x\ge 0$、$y<0$ なら $x-y\le 1$。同じように $4$ つの象限で $4$ 本の直線が出ます。

$4$ 本を合わせると、$(1,0)$、$(0,1)$、$(-1,0)$、$(0,-1)$ を頂点とする正方形になります。対角線が座標軸に乗った、傾いた正方形。

$|x|+|y|$ は原点からの「縦横に進む距離」なので、それが $1$ 以下の点の集まりだと読むこともできます。

図示の手順

塗り分けの濃さで重なりを示すと、見た人にも自分にも分かります。最後にどこが答えかを言葉でも書き添えると、読み違いが減る。

境界が原点を通る場合は、原点以外の点を選びます。$y>x$ なら $(1,0)$ や $(0,1)$ が使いやすい。

よくある誤り

参考文献