不等式の表す領域

方程式が曲線を表すのに対し、不等式は平面上の領域を表します。領域の問題は、どの部分が不等式を満たすかを図示することがポイントです。

直線による領域

直線 $a x + b y + c = 0$ は平面を2つの領域に分けます。

a x + b y + c > 0

直線の一方の側の領域を表す

a x + b y + c < 0

直線のもう一方の側の領域を表す

どちらが $> 0$ の側かは、適当な点を代入して確認します。原点 $(0, 0)$ を使うことが多いです。

$2 x + y - 4 > 0$ の表す領域を求めます。

まず境界線 $2 x + y - 4 = 0$ （つまり $y = - 2 x + 4$ ）を引きます。

原点 $(0, 0)$ を代入すると $2 \cdot 0 + 0 - 4 = - 4 < 0$ なので、原点は領域に含まれません。

よって領域は、直線 $y = - 2 x + 4$ の上側（原点を含まない側）です。

境界線は含むか

$\geq$ や $\leq$ なら境界線を含む（実線で描く）。 $>$ や $<$ なら境界線を含まない（破線で描く）。

「上側」「下側」の判定

$y > f (x)$ の形なら $y = f (x)$ の上側、 $y < f (x)$ の形なら下側です。

円 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ も平面を2つの領域に分けます。

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} < r^{2}

円の内部を表す

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} > r^{2}

円の外部を表す

複数の不等式が同時に成り立つ領域は、各不等式の領域の共通部分です。

$x \geq 0$ 、 $y \geq 0$ 、 $x + y \leq 3$ を同時に満たす領域を考えます。

x \geq 0

：

y

軸より右側（

y

軸を含む）

y \geq 0

：

x

軸より上側（

x

軸を含む）

x + y \leq 3

：直線

x + y = 3

の下側（直線を含む）

これらの共通部分は、3点 $(0, 0)$ 、 $(3, 0)$ 、 $(0, 3)$ を頂点とする三角形の内部と周です。

境界線を描く（実線か破線か注意）

各不等式について、代表点を代入して領域を確認

共通部分を塗りつぶす

領域を図示する問題では、境界線が含まれるかどうかの区別と、共通部分を正確に求めることが大切です。