指数と対数の最大最小、置きかえた文字が動く範囲

$y = 4^{x} - 2^{x + 1} + 3$ の $0 ≦ x ≦ 2$ での最大値は $11$ 、最小値は $2$ です。

指数関数のままでは二次関数の道具が使えませんが、 $4^{x} = (2^{x})^{2}$ と見ると形が変わります^[1]。

$t = 2^{x}$ と置けば $y = t^{2} - 2 t + 3$ 。見慣れた二次関数になりました。

ここから先で答えを左右するのは、 $t$ がどこまで動けるかです。 $x$ の範囲が、そのまま $t$ の範囲として渡ってきます。

$x$ の範囲を $t$ の範囲に移す

$2^{x}$ は増える一方なので、 $0 ≦ x ≦ 2$ に対応する $t$ の範囲は端どうしで決まります。

$2^{0} = 1$ 、 $2^{2} = 4$ だから $1 ≦ t ≦ 4$ 。この 1 行を書いてから二次関数を扱います。

$y = (t - 1)^{2} + 2$ と平方完成すると、軸は $t = 1$ 。範囲の左端にちょうど乗っています。

$t = 1$ で最小値 $2$ 、 $t = 4$ で最大値 $4^{2} - 2 \times 4 + 3 = 11$ 。 $t$ を $x$ に戻すと $x = 0$ と $x = 2$ です。

答えは $t$ ではなく $x$ で聞かれています。戻すところまでが一続きの作業になります。

軸が帯の中にあれば頂点が最小値、外にあれば端が最小値。二次関数の場合分けが、そのまま使えます。

例：軸が範囲の外に出る

同じ $y = 4^{x} - 2^{x + 1} + 3$ を $1 ≦ x ≦ 2$ で考えます。 $t$ の範囲は $2 ≦ t ≦ 4$ 。

軸 $t = 1$ は帯の左外です。帯の中では増える一方なので、両端が答えになります。

$t = 2$ で $4 - 4 + 3 = 3$ 、 $t = 4$ で $11$ 。最小値 $3$ 、最大値 $11$ です。

$x$ の範囲が変わっただけで、最小値の場所が頂点から端へ移りました。範囲を書き出しておく理由がここにあります。

$x$ に範囲がないとき

$y = 4^{x} - 2^{x + 1} + 3$ を、 $x$ に条件を付けずに考えます。

$2^{x}$ はどんな実数 $x$ に対しても正の値をとり、正の数ならすべて現れます^[2]。だから $t > 0$ 。

$y = (t - 1)^{2} + 2$ で $t > 0$ なら、軸 $t = 1$ は範囲の中にあります。最小値は $2$ 。

最大値はありません。 $t$ をいくらでも大きくできるので、 $y$ も限りなく大きくなります。

$t > 0$ という条件は、 $x$ の範囲がなくても消えません。指数関数の値域そのものが持ち込む制限です。

対数の置きかえでは範囲が付かない

$y = (lo g_{2} x)^{2} - 4 lo g_{2} x + 5$ を $1 ≦ x ≦ 8$ で考えます。

$t = lo g_{2} x$ と置くと $y = t^{2} - 4 t + 5 = (t - 2)^{2} + 1$ です。

$t$ の範囲は $lo g_{2} 1 = 0$ と $lo g_{2} 8 = 3$ から $0 ≦ t ≦ 3$ 。軸 $t = 2$ は中にあります。

$t = 2$ で最小値 $1$ 、両端を比べて $t = 0$ で $5$ 、 $t = 3$ で $2$ 。最大値は $5$ です。 $x$ に戻すと $x = 4$ と $x = 1$ 。

$x$ の条件を外すと、 $t$ は実数全体を動きます^[3]。指数の $t > 0$ と違い、対数の置きかえには制限が付きません。

和の形は相加平均と相乗平均で

$y = 2^{x} + 2^{- x}$ の最小値を求めます。 $t = 2^{x}$ と置くと $2^{- x} = \frac{1}{t}$ なので $y = t + \frac{1}{t}$ 。

正の数 $a$ 、 $b$ に対して、相加平均は相乗平均以上になります^[4]。

$\frac{a + b}{2} ≧ ab$

$a = t$ 、 $b = \frac{1}{t}$ とすると $ab = 1$ なので $t + \frac{1}{t} ≧ 2$ です。

等号が成り立つのは $a = b$ のとき^[4]。 $t = \frac{1}{t}$ から $t = 1$ 、つまり $x = 0$ 。最小値は $2$ になります。

等号の確認を飛ばすと答えになりません。 $2$ 以上だと分かっただけでは、 $2$ に届く $x$ があるかは未確定です。

等号が成り立たない場合

$y = 2^{x} + 2^{- x}$ を $x ≧ 1$ で考えます。 $t = 2^{x} ≧ 2$ です。

相加平均と相乗平均の関係からは $y ≧ 2$ が出ますが、等号は $t = 1$ のとき。 $t ≧ 2$ の中に入っていません。

こういうときは $y = t + \frac{1}{t}$ が $t ≧ 1$ で増える一方であることを使います。 $t = 2$ で最小値 $2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ 。

不等式で下限を出したら、その値に手が届くかを必ず確かめる。届かなければ別の道で最小値を探します。

例：積の形になる対数

$y = lo g_{2} x \cdot lo g_{2} \frac{8}{x}$ の最大値を求めます。 $x > 0$ が条件です。

商の法則から $lo g_{2} \frac{8}{x} = 3 - lo g_{2} x$ ^[5]。 $t = lo g_{2} x$ と置くと $y = t (3 - t)$ 。

$y = - t^{2} + 3 t = - (t - \frac{3}{2})^{2} + \frac{9}{4}$ で、 $t$ は実数全体を動きます。

最大値は $\frac{9}{4}$ 。 $t = \frac{3}{2}$ から $x = 2^{3/2} = 22$ のときです。最小値はありません。

例：底と真数が入れかわる形

$y = lo g_{x} 2 + lo g_{2} x$ を $x > 1$ で考えます。底に文字が入っています。

底の変換公式で $lo g_{x} 2 = \frac{1}{lo g _{2} x}$ ^[5]。 $t = lo g_{2} x$ と置くと $y = \frac{1}{t} + t$ です。

$x > 1$ から $t > 0$ 。相加平均と相乗平均の関係が使えて $y ≧ 2$ 、等号は $t = 1$ すなわち $x = 2$ 。

逆数の関係にある 2 つを足す形は、置きかえるとどれも $t + \frac{1}{t}$ に着きます。見た目が違っても中身は同じ。

$y = 9^{x} - 2 \cdot 3^{x + 1} + 10$ の最小値はどれですか。

$10$
$1$
$- 8$

__RESULT__

$t = 3^{x}$ と置くと $9^{x} = t^{2}$ 、 $3^{x + 1} = 3 t$ なので $y = t^{2} - 6 t + 10 = (t - 3)^{2} + 1$ です。 $t > 0$ に軸 $t = 3$ が含まれるため、最小値は $1$ になります。

$y = (lo g_{3} x)^{2} - 2 lo g_{3} x$ を $1 ≦ x ≦ 27$ で考えたときの最大値はどれですか。

$- 1$
$0$
$3$

__RESULT__

$t = lo g_{3} x$ と置くと $0 ≦ t ≦ 3$ で、 $y = (t - 1)^{2} - 1$ です。両端を比べると $t = 0$ で $0$ 、 $t = 3$ で $3$ となり、最大値は $3$ になります。

置きかえたら範囲も一緒に運ぶ。指数なら $t > 0$ が付き、対数なら付かない。ここを分けておけば、あとは二次関数の話になります。

参考

Exponential Equations and Inequalities/06%3A_Exponential_and_Logarithmic_Functions/6.03%3A_Exponential_Equations_and_Inequalities). Stitz C, Zeager J. Precalculus, Mathematics LibreTexts.

Exponential function. Encyclopedia of Mathematics.

Logarithmic function. Encyclopedia of Mathematics.

Arithmetic Mean. Weisstein E W. MathWorld, Wolfram Research.

Rechnen mit Logarithmus. Serlo Education.

$y = 4^{x} - 2^{x+1} + 3$ は $t = 2^{x}$ と置けば $y = t^{2} - 2t + 3$ になります。ここまでは機械的ですが、答えを分けるのは $t$ がどこまで動けるか。$0 \leqq x \leqq 2$ なら $1 \leqq t \leqq 4$ で最小値 $2$、$1 \leqq x \leqq 2$ なら $2 \leqq t \leqq 4$ で最小値 $3$ に変わります。指数の置きかえには $t > 0$ が付き、対数の置きかえには付かない。$t + 1/t$ の形で相加平均と相乗平均を使うときに、等号が範囲の外へ出てしまう場合の対処まで扱いました。