指数・対数関数の最大最小

指数関数や対数関数を含む式の最大・最小問題は、置換して2次関数に帰着させるのが基本です。

指数関数の最大・最小

$y = 4^{x} - 2^{x + 1} + 3$ の $0 \leq x \leq 2$ における最大値と最小値を求めます。

$4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2}$ なので、 $t = 2^{x}$ とおくと $y = t^{2} - 2 t + 3$ です。

$x$ の範囲 $0 \leq x \leq 2$ に対応する $t$ の範囲を求めます。 $2^{x}$ は単調増加なので、

$2^{0} \leq t \leq 2^{2}, つまり 1 \leq t \leq 4$

$y = t^{2} - 2 t + 3 = (t - 1)^{2} + 2$ と平方完成すると、 $1 \leq t \leq 4$ で

$t = 1$ のとき	$y = 2$ （最小値）
$t = 4$ のとき	$y = 11$ （最大値）

$t = 1$ は $x = 0$ のとき、 $t = 4$ は $x = 2$ のときです。

$y = (lo g_{2} x)^{2} - 4 lo g_{2} x + 5$ の $1 \leq x \leq 8$ における最大値と最小値を求めます。

$t = lo g_{2} x$ とおくと、 $y = t^{2} - 4 t + 5$ です。

$x$ の範囲に対応する $t$ の範囲は、 $lo g_{2} 1 \leq t \leq lo g_{2} 8$ 、つまり $0 \leq t \leq 3$ です。

$y = (t - 2)^{2} + 1$ と平方完成すると、軸 $t = 2$ は定義域内にあるので、

$t = 2$ のとき	$y = 1$ （最小値）
$t = 0$ のとき	$y = 5$ （最大値）

$t = 2$ は $x = 4$ のとき、 $t = 0$ は $x = 1$ のときです。

置換の範囲に注意

$t = 2^{x}$ は常に正なので $t > 0$ 。 $t = lo g_{a} x$ は全実数をとりうるが、 $x$ の範囲で制限される。

単調性の確認

$a > 1$ なら $a^{x}$ も $lo g_{a} x$ も単調増加。 $0 < a < 1$ なら単調減少。範囲の対応を間違えないこと。

$y = 2^{x} + 2^{- x}$ の最小値を求めます。

$t = 2^{x} > 0$ とおくと $y = t + \frac{1}{t}$ です。

相加相乗平均より、 $t + \frac{1}{t} \geq 2 t \cdot \frac{1}{t} = 2$ です。

等号成立は $t = \frac{1}{t}$ 、つまり $t = 1$ （ $x = 0$ ）のとき。よって最小値は 2 です。

$y = x \cdot 2^{x}$ のような式は、微分を使わないと最大・最小が求められません。数学Ⅲで学ぶ内容ですが、高校数学Ⅱの範囲では、置換で処理できる形が出題されます。

指数や対数を $t$ で置換

$t$ の範囲を求める

$t$ の2次関数として最大・最小を求める

$t$ を元の変数に戻す