常用対数と桁数の求め方（2 の 100 乗は 31 桁）

$2^{100}$ は 31 桁の数です。かけ算をしないまま、この 31 が出せます。

使うのは $lo g_{10} 2 = 0.3010$ という値だけ。 $lo g_{10} 2^{100} = 100 \times 0.3010 = 30.10$ です。

整数部分の $30$ に $1$ を足して 31 桁。 $N$ の桁数は $lo g_{10} N$ の整数部分より $1$ 大きい数になります^[1]。

底が $10$ の対数を常用対数と呼びます。桁の話に最も向いているのは、 $10$ が桁を作る数だからです。

桁数が整数部分から出る理由

$N$ が $n$ 桁だという条件を、不等式で書き直します。

$1 0^{n - 1} ≦ N < 1 0^{n}$

3 桁の数なら $100 ≦ N < 1000$ 。この形は桁数の定義そのものです。

各辺の常用対数をとると、真数が大きいほど値も大きいため向きは変わりません。

$n - 1 ≦ lo g_{10} N < n$

$lo g_{10} N$ が $n - 1$ 以上 $n$ 未満。これは整数部分が $n - 1$ だという意味です。

だから整数部分に $1$ を足せば桁数になる。 $lo g_{10} 500 = 2.699$ なら整数部分 $2$ 、桁数は 3 です。

例： $2^{50}$ と $3^{100}$

$lo g_{10} 2^{50} = 50 \times 0.3010 = 15.05$ 。整数部分 $15$ から 16 桁です。

$lo g_{10} 3^{100} = 100 \times 0.4771 = 47.71$ 。整数部分 $47$ なので 48 桁になります。

指数が大きくなるほど手計算では追えませんが、対数のほうはかけ算 1 回で済みます。

近似値の精度が足りているかは確かめておきます。 $lo g_{10} 2$ を $0.3010$ とすると誤差は $1 0^{- 5}$ 程度で、 $100$ 倍しても $0.001$ ほど。整数部分は動きません。

整数部分と小数部分が、別々の仕事をしています。桁数を決めるのが前、数字の並びを決めるのが後ろ。

小数の側でも同じ手が使える

$(\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024}$ は、小数第何位から $0$ でない数字が始まるでしょうか。

$lo g_{10} \frac{1}{1024} = - 10 \times 0.3010 = - 3.010$ 。負の値になります。

小数第 $n$ 位から始まるという条件は、 $1 0^{- n} ≦ N < 1 0^{- (n - 1)}$ です。

$- 4 < - 3.010 < - 3$ なので $1 0^{- 4} ≦ N < 1 0^{- 3}$ 。小数第 4 位から始まります。

実際 $\frac{1}{1024} = 0.000976 \dots$ で、 $9$ が現れるのは小数第 4 位。桁数のときと同じ不等式を、負の側で読んだだけです。

最高位の数字は小数部分から出る

$lo g_{10} N = 30.103$ とすると、 $N = 1 0^{30.103} = 1 0^{0.103} \times 1 0^{30}$ と分けられます。

$lo g_{10} 1 = 0$ と $lo g_{10} 2 = 0.301$ ではさむと $0 < 0.103 < 0.301$ 。 $1 0^{0.103}$ は $1$ と $2$ のあいだにあり、先頭の数字は $1$ です。

小数部分だけが数字の並びを決めています。 $1 0^{30}$ のほうは桁をずらすだけで、並びに触れません。

$3^{100}$ なら $lo g_{10} 3^{100} = 47.712$ で、小数部分は $0.712$ です。

$lo g_{10} 5 = 0.699$ と $lo g_{10} 6 = 0.778$ ではさむと $0.699 < 0.712 < 0.778$ 。 $5$ と $6$ のあいだなので、先頭の数字は $5$ になります。

区間の幅がそろっていません。 $1$ の区間は $0$ から $0.301$ まであり、 $9$ の区間は $0.954$ から $1$ までしかない。

先頭が 1 の数が多い

区間の幅がそのまま、先頭の数字の出やすさになります。先頭が $d$ になる割合は $lo g_{10} (1 + \frac{1}{d})$ ^[2]。

$1$ で始まる数はおよそ 30 パーセント、 $9$ で始まる数は 5 パーセントを切ります。均等なら 11 パーセントずつのはずです。

この偏りは、1881 年にニューカムが対数表の前半のページばかり汚れていることから気づき、1938 年にベンフォードが 20 種類のデータで確かめました^[2]。

$2^{n}$ の列でも同じ偏りが出ます。 $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128$ と並べると、先頭が $1$ のものが目立って多い。

近似値は 2 つあれば足りる

$lo g_{10} 2 = 0.3010$ と $lo g_{10} 3 = 0.4771$ 。この 2 つから、いくつもの値が作れます。

$lo g_{10} 4$	$2 \times 0.3010 = 0.6020$
$lo g_{10} 5$	$1 - 0.3010 = 0.6990$
$lo g_{10} 6$	$0.3010 + 0.4771 = 0.7781$
$lo g_{10} 8$	$3 \times 0.3010 = 0.9030$
$lo g_{10} 9$	$2 \times 0.4771 = 0.9542$
$lo g_{10} 1.5$	$0.4771 - 0.3010 = 0.1761$

$5 = \frac{10}{2}$ なので $lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2$ 。 $10$ が底なので $lo g_{10} 10 = 1$ を自由に使えます。

$7$ だけは $2$ と $3$ から作れません。 $lo g_{10} 7 = 0.8451$ が別に与えられるのはそのためです。

例：何乗で桁が変わるか

$2^{n}$ が 20 桁になるのは、 $n$ がいくつのときでしょうか。

20 桁という条件は $lo g_{10} 2^{n}$ の整数部分が $19$ 、つまり $19 ≦ 0.3010 n < 20$ です。

左から $n ≧ 63.12 \dots$ 、右から $n < 66.44 \dots$ 。整数の $n$ は $64$ から $66$ までの 3 つ。

$2^{63}$ はおよそ $9.22 \times 1 0^{18}$ で 19 桁、 $2^{64}$ はおよそ $1.84 \times 1 0^{19}$ で 20 桁です。

桁が変わる境目を探す問題は、この形の不等式に落とせます。等号の位置だけ確かめれば、あとは割り算 2 回。

例：桁数で大小を比べる

$2^{100}$ と $3^{60}$ では、どちらが大きいでしょうか。実際に計算しなくても決まります。

$lo g_{10} 2^{100} = 30.10$ 、 $lo g_{10} 3^{60} = 60 \times 0.4771 = 28.63$ 。前者が大きい。

常用対数は増える一方なので、対数の大小がそのまま数の大小になります。 $2^{100}$ が 31 桁、 $3^{60}$ が 29 桁。

桁数が違えば、それだけで勝負がつく。桁数が同じときだけ、小数部分まで見て比べます。

$2^{10} = 1024$ は 4 桁、 $3^{6} = 729$ は 3 桁です。常用対数で見ると $3.010$ と $2.863$ で、順序は変わりません。

補足：底が $10$ になった経緯

最初の対数表は 1614 年のネイピアによるもので、底は $10$ ではありませんでした^[3]。

$lo g 1 = 0$ 、 $lo g 10 = 1$ とする形を提案したのはブリッグスで、1615 年にネイピアを訪ねて相談しています^[4]。

1624 年の『対数算術』には、 $1$ から $20000$ と $90000$ から $100000$ までの常用対数が小数 14 桁まで載りました^[4]。

表に載せる値を $1$ から $10$ までに絞れたのも、この形のおかげです。整数部分は桁をずらすだけなので、小数部分の表さえあれば足りる^[3]。

いま桁数を求めるときに整数部分と小数部分を分けて考えるのは、表を引いていたころの手つきがそのまま残ったものです。

$lo g_{10} 2 = 0.3010$ とするとき、 $2^{30}$ は何桁ですか。

9 桁
10 桁
11 桁

__RESULT__

$30 \times 0.3010 = 9.03$ です。整数部分が $9$ なので、桁数は $9 + 1 = 10$ になります。

$lo g_{10} 3 = 0.4771$ とするとき、 $3^{20}$ の最高位の数字はどれですか。

__RESULT__

$20 \times 0.4771 = 9.542$ で、小数部分は $0.542$ です。 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ と $lo g_{10} 4 = 0.6020$ ではさむと $3$ の区間に入るため、最高位は $3$ になります。

整数部分が桁を、小数部分が並びを持つ。常用対数の問題は、この分担を思い出すところから始まります。

出典

Number Length. Weisstein E W. MathWorld, Wolfram Research.

Benford's Law. Weisstein E W. MathWorld, Wolfram Research.

Logarithmen, Wissenswertes und Historisches. Duden Learnattack, Schülerlexikon Mathematik.

Henry Briggs. O'Connor J J, Robertson E F. MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.

$\log_{10} 2 = 0.3010$ さえあれば、$2^{100}$ が 31 桁だと掛け算なしで決まります。$10^{n-1} \leqq N < 10^{n}$ の各辺に常用対数をとると、整数部分がそのまま $n-1$ になるためです。整数部分は桁を、小数部分は数字の並びを持つ。この分担が見えると、小数第何位から $0$ でない数字が始まるかも、最高位の数字が何かも同じ道具で出せます。先頭が $1$ の数が 30 パーセントを占める偏り、$\log_{10} 2$ と $\log_{10} 3$ から他の値を作る手順、底が $10$ に決まった 1615 年の経緯まで。