常用対数と桁数の問題

常用対数（底が 10 の対数）を使うと、大きな数の桁数や、小数点以下で最初に 0 でない数字が現れる位置がわかります。

常用対数とは

底が 10 の対数 $lo g_{10} x$ を常用対数と呼びます。単に $lo g x$ と書くこともあります。

常用対数は「10 を何乗したら $x$ になるか」を表すので、10 の累乗との関係が強いです。

正の整数 $N$ の桁数は、 $lo g_{10} N$ の整数部分 $+ 1$ で求められます。

より正確には、 $1 0^{n - 1} \leq N < 1 0^{n}$ のとき $N$ は $n$ 桁です。この両辺の常用対数をとると、

$n - 1 \leq lo g_{10} N < n$

となるので、 $lo g_{10} N$ の整数部分が $n - 1$ のとき、 $N$ は $n$ 桁です。

例

$lo g_{10} 500 \approx 2.699$ なので、整数部分は 2 です。よって 500 は $2 + 1 = 3$ 桁です。

大きな数の例

$lo g_{10} 2 \approx 0.301$ を使うと、 $2^{100}$ の桁数が計算できます。 $lo g_{10} 2^{100} = 100 \times 0.301 = 30.1$ なので、 $2^{100}$ は 31 桁です。

$lo g_{10} 2 = 0.3010$ として計算します。

$lo g_{10} 2^{50} = 50 \times 0.3010 = 15.05$

整数部分は 15 なので、 $2^{50}$ は $15 + 1 = 16$ 桁です。

$0 < N < 1$ のとき、 $lo g_{10} N < 0$ となります。

$N = 0.00123$ のような小数で、「小数点以下で最初に 0 でない数字が現れる位置」を求めるには、

$1 0^{- n} \leq N < 1 0^{- (n - 1)}$

となる $n$ を見つけます。両辺の常用対数をとると、

$- n \leq lo g_{10} N < - (n - 1)$

例

$(\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024} \approx 0.000977$ です。 $lo g_{10} \frac{1}{1024} = - lo g_{10} 1024 \approx - 3.01$ なので、小数第 4 位に初めて 0 でない数字が現れます。

確認

$0.000977$ は確かに小数第 4 位（9）から始まっています。

入試では次の値がよく使われます。

これらを組み合わせると他の値も計算できます。

$lo g_{10} 5 = lo g_{10} \frac{10}{2} = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$lo g_{10} 6 = lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$

$lo g_{10} N$ の小数部分を使うと、 $N$ の最高位の数字もわかります。これは発展的な内容ですが、興味があれば調べてみてください。