自然対数の底 e とは何か

数学で最も重要な定数の一つに、ネイピア数 $e$ （自然対数の底）があります。 $e \approx 2.71828...$ という無理数で、指数関数や対数関数を扱う上で特別な役割を果たします。

$e$ の定義

$e$ は次の極限で定義されます。

$e = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n}$

$n$ を大きくしていくと、この値は一定の数に近づきます。

$n = 1$	$(1 + 1)^{1} = 2$
$n = 10$	$(1.1)^{10} \approx 2.594$
$n = 100$	$(1.01)^{100} \approx 2.705$
$n = 1000$	$(1.001)^{1000} \approx 2.717$
$n \to \infty$	$e \approx 2.71828...$

なぜ $e$ が特別なのか

$y = a^{x}$ を微分すると $y^{'} = a^{x} \cdot lo g_{e} a$ となります。

底が $e$ のとき、 $lo g_{e} e = 1$ なので、

$y = e^{x} \Rightarrow y^{'} = e^{x}$

つまり「微分しても変わらない」という驚くべき性質があります。

自分自身が導関数

$e^{x}$ は自分自身の導関数であり、自分自身の原始関数でもあります。この性質のおかげで、微分方程式を解くときに $e^{x}$ が頻繁に登場します。

自然対数

底が $e$ の対数 $lo g_{e} x$ を自然対数と呼び、 $ln x$ と書くこともあります。

複利計算との関係

$e$ の定義は複利計算から生まれました。

年利 100% で 1 年間運用するとき、複利の回数を増やすとどうなるでしょうか。

年 1 回複利

$1 \times 2 = 2$ 円

年

n

回複利

$(1 + \frac{1}{n})^{n}$ 円

複利回数を無限に増やすと、元金 1 円は $e$ 円に収束します。これを連続複利と呼びます。

$e$ の小数展開

$e$ は無理数であり、超越数でもあります。

$e = 2.71828182845904523536...$

覚え方として「鳴くよウグイス、二羽二羽しんじゃ死、よごく二むくさ（2.7 1828 1828 45 90 45）」という語呂合わせがあります。

数学Ⅲでの扱い

数学Ⅱでは $e$ はあまり登場しませんが、数学Ⅲでは $e^{x}$ の微分・積分が重要になります。

(e^{x})^{'} = e^{x}

\int e^{x} d x = e^{x} + C

(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}

（

lo g

は自然対数）

\int \frac{1}{x} d x = lo g ∣ x ∣ + C

他分野への応用

$e$ は数学だけでなく、自然科学や経済学でも頻繁に現れます。

放射性物質の崩壊：

N (t) = N_{0} e^{- λ t}

人口増加モデル：

P (t) = P_{0} e^{r t}

電気回路の過渡現象

確率分布（正規分布、ポアソン分布）

$e$ が「自然」対数と呼ばれるのは、このように自然界のいたるところに現れるからです。