自然対数の底 e とは何か…複利の計算に現れる 2.71828

年利 100 パーセントで 1 円を 1 年預けると 2 円になります。半年ごとに利息を付け直すと ${\left(1+\frac{1}{2}\right)}^2=2.25$ 円。

刻みを細かくするほど増えますが、いくら細かくしても $2.72$ 円あたりで止まります。

この止まる先が $e=2.718281828459045\cdots$ です^[3]。自然対数の底と呼ばれる数になります。

刻みを細かくしていく

$n$ 回に分けて利息を付け直すと、1 年後の元利合計は ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ 円です。

$n$ を $10$ 倍しても、増える幅は小数第 3 位あたりまで。$n=10000$ でも $e$ とは小数第 4 位で違います^[3]。

近づき方はかなり遅い。それでも、ある値を超えることはありません。

毎日なら $n=365$ で $2.71457$ 円、毎秒でも $2.71828$ 円。刻みを細かくしても、得られる利息はほとんど変わりません。

3 を超えない理由

${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ を二項定理で開くと、各項が小さくおさえられます。

$${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots$$

括弧の中はどれも $1$ より小さいので、全体は $1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots$ より小さい。

さらに $\frac{1}{k!}\leqq \frac{1}{2^{k-1}}$ を使うと、和は $1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots <3$ でおさえられます。

この道筋でヤコブ・ベルヌーイが 1683 年に、値が $2$ と $3$ のあいだにあることを示しました^[1]。$e$ についての最初の見積もりです。

点の並びが右へ行くほど平らになります。上に引いた破線が $e$ で、どこまで進んでも触れません。

階乗の逆数を足す形

${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ を使う道は近づき方が遅い。同じ数を、足し算だけで速く出せます。

$$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots$$

分母が階乗なので、項は急に小さくなります^[2]。$\frac{1}{5!}=\frac{1}{120}$、$\frac{1}{10!}$ は $360$ 万分の 1 ほど。

$\frac{1}{10!}$ まで足すだけで小数第 7 位まで一致します。${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ で同じ精度を出すには、$n$ を数千万まで上げる必要がある。

オイラーは 1748 年の『無限解析入門』で、この級数と極限が同じ値になることを示し、小数 18 桁まで計算しました^[1]。

$(0,1)$ での傾きが $1$ になる底

$e$ が「自然」と呼ばれるのは、複利の話からではありません。グラフの傾きに理由があります。

$y=a^x$ の $(0,1)$ での傾きを、$h$ を小さくして $\frac{a^h-1}{h}$ で近づけてみます。

$h$ を小さくしていくと、$a=2$ では $0.69$ あたり、$a=3$ では $1.10$ あたりに落ち着きます。$1$ をまたいでいる。

傾きがちょうど $1$ になる底が、$2$ と $3$ のあいだに 1 つだけある。それが $e$ です。

底を大きくするほど接線は立ちます。$2$ と $3$ のあいだで一度だけ破線と重なり、そこから先は破線より立ったまま。

微分しても変わらない

$(0,1)$ での傾きが $1$ になると、どの点でも傾きが高さと等しくなります。$y=e^x$ を微分しても $e^x$ のまま。

一般の底では $a^x=e^{x\ln a}$ と書けるので^[4]、微分すると $\ln a$ という係数が前に出てきます。

底を $e$ にとると、この係数が $1$ になって消える。式が短くなるのは、そこを選んだ見返りです。

数学Ⅱ で $e$ を使う場面は多くありませんが、数学Ⅲ の微分と積分では中心になります。

自然対数

底が $e$ の対数を自然対数と呼び、${\log }_{e}x$ または $\ln x$ と書きます。指数関数 $y=e^x$ の逆関数です^[4]。

底の変換公式を通せば、どんな底の対数も自然対数で書けます。${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$。

常用対数が桁の計算に向いていたのに対し、自然対数は変化の計算に向く。用途で底を選び分けます。

無理数であり、超越数でもある

$e$ は無理数です。分数では書けません。オイラーが 1737 年に、$e$ の連分数展開が無限に続くことから示しました^[2]。

$$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,\dots ]$$

$1,2,1$、$1,4,1$、$1,6,1$ と規則が続きます。有限で終わらないので、分数にはなりません^[2]。

さらに強い性質もあります。1873 年にエルミートが、$e$ が超越数であることを証明しました^[2]。整数係数のどんな方程式の解にもなりません。

$\sqrt{2}$ は無理数ですが $x^2-2=0$ の解です。$e$ にはそういう方程式が 1 つもない^[3]。

補足：記号 $e$ になるまで

1618 年、ネイピアの対数の英訳につけられた付録に、いまでいう自然対数の表が載っています。書いたのはオートレッドとみられますが、底が $e$ だとは気づかれていません^[1]。

1690 年、ライプニッツはホイヘンスへの手紙でこの数に $b$ という記号を当てています^[1]。記号が与えられた最初の例です。

$e$ という文字を使ったのはオイラーで、1731 年のゴールドバッハ宛の手紙に現れます^[1]。呼び名がオイラーに由来するのはこの経緯から^[3]。

自分の名前の頭文字を選んだという説もありますが、$a$ から順に使って母音の $e$ が空いていた、という見方もあります。

刻みを細かくしても止まる場所がある。その場所を選ぶと式の係数が消える。$e$ が特別なのは、この 2 つが同じ数だったからです。

参考文献