自然対数の底 e とは何か…複利の計算に現れる 2.71828

年利 100 パーセントで 1 円を 1 年預けると 2 円になります。半年ごとに利息を付け直すと $(1 + \frac{1}{2})^{2} = 2.25$ 円。

刻みを細かくするほど増えますが、いくら細かくしても $2.72$ 円あたりで止まります。

この止まる先が $e = 2.718281828459045 \dots$ です^[3]。自然対数の底と呼ばれる数になります。

刻みを細かくしていく

$n$ 回に分けて利息を付け直すと、1 年後の元利合計は $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ 円です。

$n = 1$	$2.00000000$
$n = 10$	$2.59374246$
$n = 100$	$2.70481383$
$n = 1000$	$2.71692393$
$n = 10000$	$2.71814593$

$n$ を $10$ 倍しても、増える幅は小数第 3 位あたりまで。 $n = 10000$ でも $e$ とは小数第 4 位で違います^[3]。

近づき方はかなり遅い。それでも、ある値を超えることはありません。

毎日なら $n = 365$ で $2.71457$ 円、毎秒でも $2.71828$ 円。刻みを細かくしても、得られる利息はほとんど変わりません。

3 を超えない理由

$(1 + \frac{1}{n})^{n}$ を二項定理で開くと、各項が小さくおさえられます。

$(1 + \frac{1}{n})^{n} = 1 + 1 + \frac{1}{2 !} (1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{3 !} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) + \dots$

括弧の中はどれも $1$ より小さいので、全体は $1 + 1 + \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} + \dots$ より小さい。

さらに $\frac{1}{k !} ≦ \frac{1}{2 ^{k - 1}}$ を使うと、和は $1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots < 3$ でおさえられます。

この道筋でヤコブ・ベルヌーイが 1683 年に、値が $2$ と $3$ のあいだにあることを示しました^[1]。 $e$ についての最初の見積もりです。

点の並びが右へ行くほど平らになります。上に引いた破線が $e$ で、どこまで進んでも触れません。

階乗の逆数を足す形

$(1 + \frac{1}{n})^{n}$ を使う道は近づき方が遅い。同じ数を、足し算だけで速く出せます。

$e = 1 + \frac{1}{1 !} + \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} + \frac{1}{4 !} + \dots$

分母が階乗なので、項は急に小さくなります^[2]。 $\frac{1}{5 !} = \frac{1}{120}$ 、 $\frac{1}{10 !}$ は $360$ 万分の 1 ほど。

$1/1!$ まで	$2$
$1/2!$ まで	$2.5$
$1/3!$ まで	$2.666667$
$1/4!$ まで	$2.708333$
$1/6!$ まで	$2.718056$
$1/10!$ まで	$2.718281801$

$\frac{1}{10 !}$ まで足すだけで小数第 7 位まで一致します。 $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ で同じ精度を出すには、 $n$ を数千万まで上げる必要がある。

オイラーは 1748 年の『無限解析入門』で、この級数と極限が同じ値になることを示し、小数 18 桁まで計算しました^[1]。

$(0, 1)$ での傾きが $1$ になる底

$e$ が「自然」と呼ばれるのは、複利の話からではありません。グラフの傾きに理由があります。

$y = a^{x}$ の $(0, 1)$ での傾きを、 $h$ を小さくして $\frac{a ^{h} - 1}{h}$ で近づけてみます。

$h$ を小さくしていくと、 $a = 2$ では $0.69$ あたり、 $a = 3$ では $1.10$ あたりに落ち着きます。 $1$ をまたいでいる。

傾きがちょうど $1$ になる底が、 $2$ と $3$ のあいだに 1 つだけある。それが $e$ です。

底を大きくするほど接線は立ちます。 $2$ と $3$ のあいだで一度だけ破線と重なり、そこから先は破線より立ったまま。

微分しても変わらない

$(0, 1)$ での傾きが $1$ になると、どの点でも傾きが高さと等しくなります。 $y = e^{x}$ を微分しても $e^{x}$ のまま。

一般の底では $a^{x} = e^{x l n a}$ と書けるので^[4]、微分すると $ln a$ という係数が前に出てきます。

底を $e$ にとると、この係数が $1$ になって消える。式が短くなるのは、そこを選んだ見返りです。

数学Ⅱ で $e$ を使う場面は多くありませんが、数学Ⅲ の微分と積分では中心になります。

自然対数

底が $e$ の対数を自然対数と呼び、 $lo g_{e} x$ または $ln x$ と書きます。指数関数 $y = e^{x}$ の逆関数です^[4]。

底の変換公式を通せば、どんな底の対数も自然対数で書けます。 $lo g_{a} x = \frac{ln x}{ln a}$ 。

常用対数が桁の計算に向いていたのに対し、自然対数は変化の計算に向く。用途で底を選び分けます。

無理数であり、超越数でもある

$e$ は無理数です。分数では書けません。オイラーが 1737 年に、 $e$ の連分数展開が無限に続くことから示しました^[2]。

$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, \dots]$

$1, 2, 1$ 、 $1, 4, 1$ 、 $1, 6, 1$ と規則が続きます。有限で終わらないので、分数にはなりません^[2]。

さらに強い性質もあります。1873 年にエルミートが、 $e$ が超越数であることを証明しました^[2]。整数係数のどんな方程式の解にもなりません。

$2$ は無理数ですが $x^{2} - 2 = 0$ の解です。 $e$ にはそういう方程式が 1 つもない^[3]。

補足：記号 $e$ になるまで

1618 年、ネイピアの対数の英訳につけられた付録に、いまでいう自然対数の表が載っています。書いたのはオートレッドとみられますが、底が $e$ だとは気づかれていません^[1]。

1690 年、ライプニッツはホイヘンスへの手紙でこの数に $b$ という記号を当てています^[1]。記号が与えられた最初の例です。

$e$ という文字を使ったのはオイラーで、1731 年のゴールドバッハ宛の手紙に現れます^[1]。呼び名がオイラーに由来するのはこの経緯から^[3]。

自分の名前の頭文字を選んだという説もありますが、 $a$ から順に使って母音の $e$ が空いていた、という見方もあります。

$(1 + \frac{1}{n})^{n}$ について正しいものはどれですか。

$n$ を大きくすると $3$ を超える
$n$ を大きくしても $3$ を超えない
$n$ が偶数のときだけ $e$ に近づく

__RESULT__

二項定理で開くと各項が $\frac{1}{k !}$ 以下になり、さらに $\frac{1}{2 ^{k - 1}}$ でおさえられます。和は $3$ より小さいままで、値は $e = 2.718 \dots$ に近づきます。

$1 + \frac{1}{1 !} + \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} + \frac{1}{4 !}$ の値はどれですか。

$2.666667$
$2.708333$
$2.718282$

__RESULT__

$1 + 1 + 0.5 + 0.166667 + 0.041667 = 2.708333$ です。 $\frac{1}{3 !}$ までなら $2.666667$ 、 $e$ そのものは $2.718282$ になります。

刻みを細かくしても止まる場所がある。その場所を選ぶと式の係数が消える。 $e$ が特別なのは、この 2 つが同じ数だったからです。

参考文献

The number e. O'Connor J J, Robertson E F. MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.

e. Weisstein E W. MathWorld, Wolfram Research.

Eulersche Zahl. Duden Learnattack, Schülerlexikon Mathematik.

Exponential function. Encyclopedia of Mathematics.

年利 100 パーセントで 1 円を預け、利息を付け直す回数を増やしていくと、$2$ 円、$2.25$ 円、$2.594$ 円と伸びます。ただし $n = 10000$ でも $2.71814$ 円で、$3$ 円には届きません。二項定理で開くと各項が $1/k!$ 以下におさえられるためで、この見積もりを 1683 年にヤコブ・ベルヌーイが与えました。$e$ が「自然」と呼ばれる理由は複利ではなく傾きのほう。$y = a^{x}$ の $(0, 1)$ での傾きが $1$ になる底が $e$ です。階乗の逆数を足す級数、連分数からの無理数の証明、1873 年の超越性、記号 $e$ が選ばれた経緯まで。